Calcule o determinante da matriz A=[cccc4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4];

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz A de ordem 4:
A = 4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4
Vamos usar operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma em que seja fácil aplicar expansão por cofactores, tomando cuidado com o efeito dessas operações sobre o determinante.

Passo 2

Eliminamos os elementos abaixo de a11=4 usando operações que geram apenas inteiros. Definimos a matriz M' obtida de A pelas seguintes trocas de linha:
  • R2 4R2 + R1 (multiplica o det por 4),
  • R3 4R3 - R1 (multiplica o det por 4),
  • R4 2R4 - R1 (multiplica o det por 2).
Logo,
det(M') = 4cdot4cdot2;det(A) = 32,det(A),
e a matriz M' fica
M' = 4 & -5 & 3 & 2 0 & -5 & 15 & 2 0 & 13 & -7 & 10 0 & 7 & -3 & 6

Passo 3

Fazendo expansão de det(M') pela primeira coluna, só o elemento 4 de M'11 contribui:
det(M') = 4 ;det(C),
onde C é o menor 3times 3 formado pelas colunas 2 4 e linhas 2 4:
C = -5 & 15 & 2 13 & -7 & 10 7 & -3 & 6

Passo 4

Calculamos det(C) por expansão:
det(C) = -5-7 & 10-3 & 6 -1513 & 107 & 6 +213 & -77 & -3
Os determinantes 2times 2 são
-7 & 10-3 & 6 = -42+30=-12, 13 & 107 & 6=78-70=8, 13 & -77 & -3=-39+49=10
Substituindo:
det(C) = -5cdot(-12) -15cdot8 +2cdot10 = 60 -120 +20 = -40

Passo 5

Agregando tudo:
det(M') = 4,det(C) = 4cdot(-40) = -160,
mas lembrando que det(M') = 32,det(A), temos
32,det(A) = -160 Longrightarrow det(A) = -16032 = -5

Resposta

-5

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