Determine o ângulo entre o plano de equação x+y+z-7=0 e algum plano perpendicular ao vetor (1,-1,1).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o plano
,P1: x+y+z-7=0
e qualquer plano P2 que seja perpendicular ao vetor (1,-1,1).
Conteúdo: geometria analítica de planos. Vamos usar vetores normais e a fórmula do ângulo entre planos.

Passo 2

Para um plano ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c).
Então, para P1 temos
n1 = (1,,1,,1)
Como P2 é perpendicular ao vetor (1,-1,1), esse vetor é o normal de P2. Logo
n2 = (1,,-1,,1)

Passo 3

O ângulo phi entre dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais, dado por
cosphi = lvert n1 cdot n2rvert|n1|;|n2|
Calculando:
n1 cdot n2 = 1cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot1 = 1,
|n1| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3, |n2| = raiz1^2+(-1)^2+1^2 = raiz3,
portanto
cosphi = |1|raiz3,raiz3 = 13

Passo 4

Isolando phi, obtemos
phi = arccos!l(tfrac13r)

Resposta

phi = arccos!l(tfrac13r)

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