Dadas as matrizes A=[cccc1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3] e B=[cccc-3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2], determine:
(B A)^-1;

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 4times4,
A= 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 , B= -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 ,
e pede (BA)^-1. O conteúdo usado é a propriedade do inverso de produto:
(BA)^-1=A^-1,B^-1,
além de técnicas de inversão de matrizes triangulares (substituição direta).

Passo 2

Calcular A^-1. Como A é triangular superior, seu inverso também é triangular superior. Fazendo A,X=I por “back-substitution”, encontra-se
A^-1= 1 & tfrac52 & tfrac178 & -tfrac3112[6pt] 0 & tfrac12 & tfrac38 & -tfrac512[4pt] 0 & 0 & tfrac14 & tfrac16[4pt] 0 & 0 & 0 & tfrac13 ]

Passo 3

Calcular B^-1. Como B é triangular inferior, seu inverso é triangular inferior. Fazendo B,Y=I por “forward-substitution”, obtém-se
B^-1= -tfrac13 & 0 & 0 & 0[4pt] -tfrac14 & -tfrac14& 0 & 0[4pt] -tfrac76 & -tfrac12& -1 & 0[4pt] -tfrac2524& -tfrac38& -tfrac12& -tfrac12 ]

Passo 4

Multiplicar A^-1B^-1. Chamando C=A^-1B^-1, cada entrada cij é
cij=sumk=1^4 (A^-1)ik,(B^-1)kj
Fazendo as somas, chega-se a
C= -tfrac215288 & -tfrac2332 & -tfrac56 & tfrac3124[4pt] -tfrac37288 & -tfrac532 & -tfrac16 & tfrac524[4pt] -tfrac67144 & -tfrac316 & -tfrac13 & -tfrac112[4pt] -tfrac2572 & -tfrac18 & -tfrac16 & -tfrac16 ]

Resposta

(BA)^-1 = -tfrac215288 & -tfrac2332 & -tfrac56 & tfrac3124[4pt] -tfrac37288 & -tfrac532 & -tfrac16 & tfrac524[4pt] -tfrac67144 & -tfrac316 & -tfrac13 & -tfrac112[4pt] -tfrac2572 & -tfrac18 & -tfrac16 & -tfrac16 ]

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