Calcule o determinante da matriz B abaixo,
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor de \det(B) para
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é determinante de matriz de ordem 4 e uso de expansão em cofactores para simplificar o cálculo.

Passo 2

Note que a segunda coluna de B tem zeros em todas as entradas, exceto em (2,2), onde vale 1. Então podemos usar a expansão de Laplace ao longo da coluna 2:
\det(B) = \sum_{i=1}^4 (-1)^{i+2}\,b_{i2}\,\det\bigl(B_{i2}\bigr) = (-1)^{2+2}\cdot1\;\det(B_{22}) = \det(B_{22}),
onde B_{22} é o menor obtido ao riscar a linha 2 e a coluna 2 de B.

Passo 3

O menor B_{22} é a matriz 3\times3 formada por linhas 1,3,4 e colunas 1,3,4 de B:
M = B_{22} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Portanto \det(B)=\det(M).

Passo 4

Vamos calcular \det(M) expandindo pela primeira linha:
\det(M) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix} \;-\;0\cdot(\dots) \;+\;2\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[6pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Aqui
\det\!\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 0\cdot0 = 2, \qquad \det\!\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} =(-1)\cdot0 - 1\cdot2 = -2.
Logo
\det(M) = 1\cdot2 + 2\cdot(-2) = 2 - 4 = -2.]

Passo 5

Concluímos que
\det(B) = \det(M) = -2.

Resposta

-2

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