Seja A=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 3 & 2\end{array}\right].
Calcule a inversa de A

Passo 1

O enunciado pede a inversa de
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
O método será o de Gauss–Jordan, formando \bigl[A\mid I_4\bigr], fazendo pivôs em cada coluna e zerando acima e abaixo para obter \bigl[I_4\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e, para ter pivô unitário em (1,1) e (2,2), trocamos as linhas 1↔3 e 2↔4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Observando a parte esquerda, já está em forma triangular superior com pivôs unitários em cada coluna.

Passo 4

Eliminamos agora as entradas acima dos pivôs, de baixo para cima:
  1. Zeramos as colunas 4 em cima do pivô de linha 4:
  • R_1\leftarrow R_1-4R_4,
  • R_2\leftarrow R_2-2R_4,
  • R_3\leftarrow R_3-R_4.
  1. Zeramos a coluna 3 em cima do pivô de linha 3:
  • R_1\leftarrow R_1-3R_3,
  • R_2\leftarrow R_2-3R_3.
  1. Zeramos a coluna 2 em cima do pivô de linha 2:
  • R_1\leftarrow R_1-2R_2.
Após essas operações, a parte esquerda fica I_4 e a parte direita passa a ser A^{-1}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 & -2\\\\ -3 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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