Sejam A=\left[\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 0 & -6 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 2\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right].
(a) Encontre \operatorname{det} A
(b) Se existir, encontre a inversa de A e \operatorname{det} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & -6\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e pede (a) \det A e (b), se existir, A^{-1} e \det A^{-1}. O conteúdo envolve determinantes de matrizes em bloco e cálculo de inversa via resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Repare que as variáveis correspondentes às colunas 2 e 3 estão isoladas (formam um bloco identidade) e as colunas 1 e 4 formam um bloco
B=\begin{pmatrix}-3 & -6\\\ 2 & 2\end{pmatrix}
nas linhas 1 e 4. Logo
\det A=\det B\cdot\det I_{2}=\det B.
Calculando
\det B =(-3)\cdot 2 - 2\cdot(-6)= -6 +12=6.

Passo 3

Para achar A^{-1}, notamos que
A\,e_{2}=e_{2},\quad A\,e_{3}=e_{3}
implica que as segunda e terceira colunas de A^{-1} são e_{2} e e_{3}. Nas componentes 1 e 4 resolvemos
B\begin{pmatrix}x_{1}\x_{4}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b_{1}\b_{4}\end{pmatrix}
para b=e_{1} e b=e_{4}. Primeiro calculamos
B^{-1}=\frac1{\det B}\begin{pmatrix}2 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix} =\frac1{6}\begin{pmatrix}2 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.
Assim
B^{-1}e_{1}=\frac1{6}\begin{pmatrix}2\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/3\\\ -1/3\end{pmatrix},\quad B^{-1}e_{2}=\frac1{6}\begin{pmatrix}6\\\ -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1/2\end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}= \begin{pmatrix} 1/3 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -1/3& 0 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como sempre vale \det(A^{-1})=1/\det A, temos
\det A^{-1}=\frac1{6}.

Resposta

(a) \det A=6
(b)
A^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac13 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -\tfrac13& 0 & 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}, \quad \det A^{-1}=\tfrac16.

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