Verdadeiro ou Falso (justifique ou dê contra-exemplo).
(A+B)(A B)^{-1}=A B^{-1} A^{-1}+A^{-1}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para matrizes invertíveis A e B, vale a igualdade
(A+B)(AB)^{-1} \;=\; A\,B^{-1}\,A^{-1}\;+\;A^{-1}.
O conteúdo que vamos usar é a propriedade da inversa de um produto de matrizes e a distributividade da multiplicação sobre a soma.

Passo 2

Pela propriedade da inversa de produto, temos
(AB)^{-1} \;=\; B^{-1}\,A^{-1}.

Passo 3

Substituindo em (A+B)(AB)^{-1} e usando associatividade, obtemos
(A+B)(AB)^{-1} \;=\; (A+B)\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr).

Passo 4

Agora distribuímos a multiplicação sobre a soma:
(A+B)\,B^{-1}A^{-1} \;=\; A\,B^{-1}A^{-1} \;+\; B\,B^{-1}A^{-1}.

Passo 5

Como B\,B^{-1}=I (matriz identidade), o segundo termo é
B\,B^{-1}A^{-1} \;=\; I\,A^{-1} \;=\; A^{-1},
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(A+B)(AB)^{-1} \;=\; A\,B^{-1}A^{-1} \;+\; A^{-1}.

Resposta

Verdadeiro.

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