Calcule o determinante da matriz
\begin{aligned} & M=(A B) \cdot C \text {, sendo } A=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \\ & B=\left(\begin{array}{lll} -2 & 3 & 5 \end{array}\right) \text { e } C=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede \det M para
M = (A\,B)\cdot C
onde A é um vetor coluna 3\times1, B é um vetor linha 1\times3 e C é 3\times3.
Conteúdo: produto de matrizes, produto externo (outer product) e propriedade \det(PQ)=\det P\det Q.

Passo 2

Formamos primeiro o produto externo
AB = A\;B,
que é uma matriz 3\times3 com entrada (AB)_{ij}=A_i\,B_j. Como
A=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}-2&3&5\end{pmatrix},
temos
AB =\begin{pmatrix} (-1)(-2)&(-1)(3)&(-1)(5)\\\\ 2(-2)&2(3)&2(5)\\\ (-3)(-2)&(-3)(3)&(-3)(5) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2&-3&-5\\\\ -4&6&10\\\\ 6&-9&-15 \end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que as colunas de AB são múltiplos umas das outras (por exemplo, a segunda coluna é -\tfrac32 vezes a primeira). Logo, \mathrm{rank}(AB)=1<3, o que implica
\det(AB)=0.

Passo 4

Agora usamos a propriedade de determinantes de produto: se M=(AB)\,C, então
\det M = \det(AB)\,\det C.

Passo 5

Como \det(AB)=0, segue que
\det M = 0\cdot\det C = 0.

Resposta

\det M = 0.

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