Calcule o determinante da matriz dada reduzindo à forma escalonada por linhas:
[ccc3 & 6 & -9 0 & 0 & -2 -2 & 1 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular det(A) da matriz
A = 3 & 6 & -9 0 & 0 & -2 -2 & 1 & 5
usando redução à forma escalonada por linhas. Vamos usar operações elementares de linha, sabendo que:
– a troca de duas linhas inverte o sinal do determinante;
– a adição de um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
No fim, obteremos uma matriz triangular, cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo efeito das trocas de linha.

Passo 2

Primeiro fazemos a troca de R2 com R3 para obter um pivô não nulo na segunda linha:
3 & 6 & -9 0 & 0 & -2 -2 & 1 & 5 ;xrightarrow;R2rightarrowR3;; 3 & 6 & -9 -2 & 1 & 5 0 & 0 & -2
Essa troca de linhas inverte o sinal do determinante.

Passo 3

Em seguida, zeramos o elemento abaixo de a11=3 usando
R2 R2 + tfrac23,R1, que não altera o determinante:
3 & 6 & -9 -2 & 1 & 5 0 & 0 & -2 ;longrightarrow; 3 & 6 & -9 0 & 5 & -1 0 & 0 & -2
Agora a matriz está em forma triangular superior. O determinante dessa triangular é o produto dos pivôs:
det(T) = 3 times 5 times (-2) = -30
Como houve uma troca de linhas, multiplicamos por -1, obtendo
det(A) = -,det(T) = -(-30) = 30

Resposta

det(A)=30

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