Calcule o determinante da matriz dada reduzindo à forma escalonada por linhas:
[cccc0 & 1 & 1 & 1 12 & 12 & 1 & 1 23 & 1 & 13 & 0 -13 & 23 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) onde
A = 0 & 1 & 1 & 1 [6pt] 12 & 12 & 1 & 1 [6pt] 23 & 1 & 13 & 0 [6pt] -13 & 23 & 0 & 0
usando redução a forma escalonada por linhas. Vamos aplicar operações elementares de linha, lembrando que:
1. trocar duas linhas muda o sinal do determinante,
2. somar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.

Passo 2

Primeiro, como A11=0, trocamos a linha 1 com a linha 2. Isso inverte o sinal do determinante. A matriz fica
12 & 12 & 1 & 1 [4pt] 0 & 1 & 1 & 1 [4pt] 23 & 1 & 13 & 0 [4pt] -13 & 23 & 0 & 0 ,
e anotamos um fator -1 no determinante.

Passo 3

Eliminamos as entradas das linhas 3 e 4 na coluna 1 usando a nova linha 1 como pivô 12:
– Na linha 3 subtraímos 2312=43 vezes a linha 1,
– Na linha 4 somamos -1312=-23 vezes a linha 1.
O resultado é
12 & 12 & 1 & 1 [4pt] 0 & 1 & 1 & 1 [4pt] 0 & 13 & -1 & -43 [4pt] 0 & 1 & 23 & 23

Passo 4

Agora usamos a linha 2 (pivô 1 na coluna 2) para zerar abaixo dela:
– Na linha 3 subtraímos 13 vezes a linha 2,
– Na linha 4 subtraímos 1 vez a linha 2.
Isso leva a
12 & 12 & 1 & 1 [4pt] 0 & 1 & 1 & 1 [4pt] 0 & 0 & -43 & -53 [4pt] 0 & 0 & -13 & -13

Passo 5

Por fim, com pivô -43 na posição (3,3) eliminamos a entrada abaixo (linha 4, coluna 3): subtraímos l(-13r)/l(-43r)=14 vezes a linha 3 da linha 4. Obtemos a forma triangular:
12 & * & * & * [4pt] 0 & 1 & * & * [4pt] 0 & 0 & -43 & * [4pt] 0 & 0 & 0 & 112
Os pivôs são 12,;1,;-43,;112

Passo 6

O determinante de A é o produto dos pivôs vezes -1 da troca em

Passo 7

det(A) = -1 ;times;l(tfrac12r)times 1timesl(-tfrac43r)timesl(tfrac112r) = -1timesl(-tfrac472r) = tfrac472 = tfrac118

Resposta

118

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