Calcule o determinante da matriz dada reduzindo à forma escalonada por linhas:
[ccccc1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz por redução à forma escalonada por linhas. Vamos usar que a operação “ Ri Ri + k,Rj” não altera o determinante e que, ao obter uma matriz triangular superior sem trocar linhas, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Começamos eliminando o elemento a21=-2 somando 2 vezes a primeira linha à segunda:
R2 R2 + 2,R1
Isso leva a
1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1

Passo 3

Agora usamos o pivô da terceira linha para zerar a43=2, e em seguida o pivô da quarta linha para zerar a54=1:
R4 R4 - 2,R3, R5 R5 - R4
Ficamos com a matriz triangular superior
1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Passo 4

Como só usamos operações do tipo Ri Ri + k,Rj, o determinante não mudou. Numa matriz triangular superior, vale
det = prodi=1^5 aii
Aqui os elementos da diagonal são 1,,-1,,1,,1,,2, logo
det = 1 times (-1)times 1 times 1 times 2 = -2

Resposta

-2

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