Faça o que se pede em cada item:
Expresse o polinômio v(t)=t^2+4 t-3 sobre R como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2-2 t+5, p2(t)=2 t^2-3 t e p3(t)=t-3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio v(t)=t^2+4t-3 como combinação linear dos polinômios
;p1(t)=t^2-2t+5, ;p2(t)=2t^2-3t e ;p3(t)=t-3.
O conteúdo envolvido é o espaço vetorial dos polinômios em R, a ideia de combinação linear e o método de coeficientes iguais.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,cinR tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t) = a(t^2-2t+5)+b(2t^2-3t)+c(t-3)
Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos
(a+2b),t^2+(-2a-3b+c),t+(5a-3c)

Passo 3

Para que essa expressão seja igual a v(t)=t^2+4t-3, igualamos coeficientes de t^2, t e termo livre:
a+2b=1, -2a-3b+c=4, 5a-3c=-3

Passo 4

Da primeira equação segue a=1-2b. Substituindo nas duas restantes:
-2(1-2b)-3b+c=4;Rightarrow;b+c=6;Rightarrow;c=6-b,
5(1-2b)-3c=-3;Rightarrow;5-10b-3(6-b)=-3;Rightarrow;-7b=10;Rightarrow;b=-tfrac107
Logo
a=1-2l(-tfrac107r)=tfrac277, c=6-l(-tfrac107r)=tfrac527

Passo 5

Portanto os coeficientes são
a=tfrac277, b=-tfrac107, c=tfrac527
e a combinação desejada é
v(t)=277,p1(t);-;107,p2(t);+;527,p3(t)

Resposta

v(t)=277,p1(t)-107,p2(t)+527,p3(t)

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