(a) Calcule o determinante da matriz B=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 4 & 10 & -5\end{array}\right).
(b) Considere a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 10 & -5\end{array}\right). A matriz A é inversível? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes e faz duas perguntas.
  • Matriz B:
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & -1 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 4 & 10 & -5 \end{pmatrix}
A pergunta (a) é: calcular \det(B).
  • Matriz A:
A=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 10 & -5 \end{pmatrix}
A pergunta (b) é: a matriz A é inversível? Se for, calcular A^{-1}.
Essas são todas as informações relevantes do enunciado; a partir daqui vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Observação útil sobre B: a primeira coluna de B é \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Vou usar a regra de desenvolvimento (expansão) do determinante por uma coluna.
Expansão por uma coluna: para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado por
\det(B)=\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} b_{i1}\det(M_{i1}),
onde b_{i1} são os elementos da primeira coluna e M_{i1} é a matriz obtida ao retirar a linha i e a coluna 1.
Como em B temos b_{11}=2 e b_{21}=b_{31}=b_{41}=0, todos os termos com i>1 são nulos. Assim sobra apenas o termo i=1:
\det(B)=2\det(M_{11}).
Agora identificar M_{11}: ao cortar a linha 1 e a coluna 1 de B fica exatamente a matriz 3\times3
M_{11}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ 4 & 10 & -5 \end{pmatrix},
que é exatamente a matriz A fornecida no item (b). Portanto
\det(B)=2\det(A).

Passo 3

Agora calculamos \det(A). Vou mostrar a técnica básica que usarei: desenvolvimento pela primeira linha. Para uma matriz 3\times3
\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j} vezes o determinante do menor 2\times2 obtido removendo linha 1 e coluna j. E para 2\times2 usamos
\det\begin{pmatrix}p&q\r&s\end{pmatrix}=ps-qr.
Aplicando isso a A, com primeira linha (-1,-2,1):
\det(A)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}.
Calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix}=3\cdot(-5)-(-2)\cdot10=-15+20=5,
\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-(-2)\cdot4=-5+8=3,
\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}=1\cdot10-3\cdot4=10-12=-2.
Substituindo:
\det(A)=(-1)\cdot 5 -(-2)\cdot 3 + 1\cdot(-2) = -5 + 6 -2 = -1.
Portanto \det(A)=-1.

Passo 4

Retornando ao item (a): como vimos \det(B)=2\det(A) e acabamos de achar \det(A)=-1, segue
\det(B)=2\cdot(-1)=-2.

Passo 5

Sobre invertibilidade de A: um fato fundamental é este:
  • Uma matriz quadrada é inversível (tem inversa) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Como \det(A)=-1\neq 0, concluímos que A é inversível. Agora vamos calcular A^{-1}.

Passo 6

Método escolhido para calcular A^{-1}: fórmula da matriz adjunta (adjugada).
  • Definição: \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.
  • Fórmula da inversa: \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Vou calcular a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor (determinante 2\times2) obtido removendo linha i e coluna j.
Calculemos todos os menores M_{ij} e cofatores:
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix}=5, então C_{11}=+5.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix}=3, então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-3.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}=-2, então C_{13}=+(-2)=-2.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-1\cdot10=10-10=0, então C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot0=0.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-1\cdot4=5-4=1, então C_{22}=+1.
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}=(-1)(10)-(-2)(4)=-10+8=-2, então C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-2)=+2.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-1\cdot3=4-3=1, então C_{31}=+1.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix}=(-1)(-2)-1\cdot1=2-1=1, então C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot1=-1.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=(-1)(3)-(-2)(1)=-3+2=-1, então C_{33}=+(-1)=-1.
Assim a matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix} 5 & -3 & -2 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
A adjunta (adjugada) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 1 \\\\ -3 & 1 & -1 \\\\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora aplicamos a fórmula da inversa usando \det(A)=-1:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).
Portanto
A^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 0 & -1 \\\\ 3 & -1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 7

Cheque rápido (sanity check): multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Ex.: primeira linha de A vezes primeira coluna de A^{-1}:
(-1)(-5)+(-2)(3)+1\cdot2=5-6+2=1,
e produtos mistos dão zero. Isso confirma coerência do resultado (detalhei um produto como verificação; a verificação completa é um cálculo mecânico que confirma a inversa).

Resposta

(a) \det(B)=-2
(b) A é inversível e
A^{-1}=\begin{pmatrix} -5 & 0 & -1 \\\\ 3 & -1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}

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