A pergunta (b) é: a matriz A é inversível? Se for, calcular A^{-1}.
Essas são todas as informações relevantes do enunciado; a partir daqui vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Observação útil sobre B: a primeira coluna de B é \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Vou usar a regra de desenvolvimento (expansão) do determinante por uma coluna.
Expansão por uma coluna: para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado por
Retornando ao item (a): como vimos \det(B)=2\det(A) e acabamos de achar \det(A)=-1, segue
\det(B)=2\cdot(-1)=-2.
Passo 5
Sobre invertibilidade de A: um fato fundamental é este:
Uma matriz quadrada é inversível (tem inversa) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Como \det(A)=-1\neq 0, concluímos que A é inversível. Agora vamos calcular A^{-1}.
Passo 6
Método escolhido para calcular A^{-1}: fórmula da matriz adjunta (adjugada).
Definição: \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.
Fórmula da inversa: \displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Vou calcular a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor (determinante 2\times2) obtido removendo linha i e coluna j.
Calculemos todos os menores M_{ij} e cofatores:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix}=5, então C_{11}=+5.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix}=3, então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-3.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}=-2, então C_{13}=+(-2)=-2.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 10 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-1\cdot10=10-10=0, então C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot0=0.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 4 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-1\cdot4=5-4=1, então C_{22}=+1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\\\ 4 & 10\end{pmatrix}=(-1)(10)-(-2)(4)=-10+8=-2, então C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot(-2)=+2.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-1\cdot3=4-3=1, então C_{31}=+1.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}-1 & 1 \\\\ 1 & -2\end{pmatrix}=(-1)(-2)-1\cdot1=2-1=1, então C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot1=-1.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}-1 & -2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}=(-1)(3)-(-2)(1)=-3+2=-1, então C_{33}=+(-1)=-1.
Cheque rápido (sanity check): multiplicando A por A^{-1} obtém-se a identidade I_3. Ex.: primeira linha de A vezes primeira coluna de A^{-1}:
(-1)(-5)+(-2)(3)+1\cdot2=5-6+2=1,
e produtos mistos dão zero. Isso confirma coerência do resultado (detalhei um produto como verificação; a verificação completa é um cálculo mecânico que confirma a inversa).