Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas \vec{x}, \vec{y} e \vec{z} em função de \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
\left\{\begin{aligned} 3 \vec{x}+\vec{y} & =2 \vec{u} \\\ \vec{x}-\vec{y} & =\vec{u}+\vec{v}\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • O enunciado dá o sistema de equações vetoriais
\left\{\begin{aligned} 3\vec{x}+\vec{y} &= 2\vec{u}\\[4pt] \vec{x}-\vec{y} &= \vec{u}+\vec{v} \end{aligned}\right.
e pede para resolver nas incógnitas \vec{x},\vec{y} e \vec{z} em função de \vec{u},\vec{v} e \vec{w}.
  • Informações importantes que temos: os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dados (constantes no problema) e as incógnitas são \vec{x},\vec{y},\vec{z}.
  • Observação crucial: nas equações fornecidas só aparecem \vec{x} e \vec{y}. A incógnita \vec{z} não aparece em nenhuma equação, portanto o sistema não impõe nenhuma condição sobre \vec{z}.]

Passo 2

Regras e ideias que vamos usar (mini-aula).
  • Operações com vetores como soma e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Por isso uma igualdade entre vetores significa igualdade em todas as componentes, e podemos manipular equações vetoriais exatamente como manipulamos equações escalares: somar equações, multiplicar por escalares, etc.
  • Se tivermos uma equação vetorial \alpha\vec{a}=\vec{b} com \alpha escalar não nulo, podemos dividir por \alpha (ou multiplicar por \alpha^{-1}) para obter \vec{a}=\alpha^{-1}\vec{b}.
  • Eliminação por adição/subtração funciona igual: se duas equações envolvem \vec{y} com sinais opostos, ao somar as duas elas se cancelam componente a componente.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para encontrar \vec{x} e \vec{y}. Depois trato \vec{z}.

Passo 3

Eliminar \vec{y} somando as duas equações.
Escrevendo as duas equações:
\begin{aligned} (1)\\ & 3\vec{x}+\vec{y}=2\vec{u},\\[4pt] (2)\\ & \vec{x}-\vec{y}=\vec{u}+\vec{v}. \end{aligned}
Somando (1) e (2) membro a membro (isso elimina \vec{y} porque \vec{y}+(-\vec{y})=\vec{0}):
3\vec{x}+\vec{y}+\bigl(\vec{x}-\vec{y}\bigr)=2\vec{u}+(\vec{u}+\vec{v}).
No lado esquerdo \vec{y} cancela e 3\vec{x}+\vec{x}=4\vec{x}. No direito 2\vec{u}+\vec{u}+\vec{v}=3\vec{u}+\vec{v}. Logo obtemos a equação vetorial
4\vec{x}=3\vec{u}+\vec{v}.]

Passo 4

Resolver para \vec{x}.
A equação do passo anterior é \,4\vec{x}=3\vec{u}+\vec{v}\,. Como 4 é escalar não nulo, dividimos por 4 (isto é, multiplicamos pelo escalar \tfrac{1}{4}):
\vec{x}=\frac{1}{4}\bigl(3\vec{u}+\vec{v}\bigr).
Distribuindo o escalar \tfrac{1}{4} (regra de multiplicação por escalar):
\vec{x}=\frac{3}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}.
Isso é um vetor escrito como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Na prática, componente a componente seria a mesma conta feita em cada componente.

Passo 5

Determinar \vec{y} substituindo \vec{x} em uma das equações (uso a segunda, mais direta).
A segunda equação é \vec{x}-\vec{y}=\vec{u}+\vec{v}. Reescrevendo para \vec{y}:
-\vec{y}=\vec{u}+\vec{v}-\vec{x}\quad\Longrightarrow\quad \vec{y}=\vec{x}-(\vec{u}+\vec{v}).
Agora substituo \vec{x}=\dfrac{3}{4}\vec{u}+\dfrac{1}{4}\vec{v}:
\vec{y}=\left(\frac{3}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}\right)-\vec{u}-\vec{v}.
Agrupo os termos em \vec{u} e \vec{v} usando propriedades distributivas:
\vec{y}=\left(\frac{3}{4}-1\right)\vec{u}+\left(\frac{1}{4}-1\right)\vec{v}.
Calculo as diferenças dos escalares:
\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4},\qquad \frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}.
Portanto
\vec{y}=-\frac{1}{4}\vec{u}-\frac{3}{4}\vec{v}.
(Se preferir, pode-se obter o mesmo \vec{y} isolando \vec{y} na primeira equação: \vec{y}=2\vec{u}-3\vec{x} e substituir \vec{x} encontrado; dá o mesmo resultado.)

Passo 6

O que acontece com \vec{z} e verificação rápida.
  • Como observado no Passo 1, a incógnita \vec{z} não aparece em nenhuma das equações do sistema, então o sistema não impõe nenhuma condição sobre \vec{z}. Isso significa que \vec{z} é livre: pode ser qualquer vetor do espaço considerado. Em particular não há uma expressão única que a sistema imponha relacionando \vec{z} com \vec{u},\vec{v},\vec{w}; se for preciso expressá-la em função de \vec{w} seria uma escolha adicional (por exemplo, uma solução particular é \vec{z}=\vec{w}, mas isso é extra e não decorre do sistema).
  • Verificação rápida (pra ficar tranquilo): substituindo \vec{x}=\tfrac{3}{4}\vec{u}+\tfrac{1}{4}\vec{v} e \vec{y}=-\tfrac{1}{4}\vec{u}-\tfrac{3}{4}\vec{v} nas duas equações obtém-se identidades verdadeiras (fazendo as somas escalares dá 3\vec{x}+\vec{y}=2\vec{u} e \vec{x}-\vec{y}=\vec{u}+\vec{v}), então a solução está correta.

Resposta

\vec{x}=\dfrac{3}{4}\vec{u}+\dfrac{1}{4}\vec{v}\n
\vec{y}=-\dfrac{1}{4}\vec{u}-\dfrac{3}{4}\vec{v}\n
\vec{z} é arbitrário (não determinado pelo sistema)

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