Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas
e
em função de
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- O enunciado dá o sistema de equações vetoriais
e pede para resolver nas incógnitas
e
em função de
e
.
- Informações importantes que temos: os vetores
são dados (constantes no problema) e as incógnitas são . - Observação crucial: nas equações fornecidas só aparecem
e . A incógnita não aparece em nenhuma equação, portanto o sistema não impõe nenhuma condição sobre .]
Passo 2
Regras e ideias que vamos usar (mini-aula).
- Operações com vetores como soma e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Por isso uma igualdade entre vetores significa igualdade em todas as componentes, e podemos manipular equações vetoriais exatamente como manipulamos equações escalares: somar equações, multiplicar por escalares, etc.
- Se tivermos uma equação vetorial
com escalar não nulo, podemos dividir por (ou multiplicar por ) para obter . - Eliminação por adição/subtração funciona igual: se duas equações envolvem
com sinais opostos, ao somar as duas elas se cancelam componente a componente.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para encontrar
e
. Depois trato
.
Passo 3
Eliminar
somando as duas equações.
Escrevendo as duas equações:
Somando (1) e (2) membro a membro (isso elimina
porque
):
No lado esquerdo
cancela e
. No direito
. Logo obtemos a equação vetorial
Passo 4
Resolver para
.
A equação do passo anterior é
. Como
é escalar não nulo, dividimos por
(isto é, multiplicamos pelo escalar
):
Distribuindo o escalar
(regra de multiplicação por escalar):
Isso é um vetor escrito como combinação linear de
e
. Na prática, componente a componente seria a mesma conta feita em cada componente.
Passo 5
Determinar
substituindo
em uma das equações (uso a segunda, mais direta).
A segunda equação é
. Reescrevendo para
:
Agora substituo
:
Agrupo os termos em
e
usando propriedades distributivas:
Calculo as diferenças dos escalares:
Portanto
(Se preferir, pode-se obter o mesmo
isolando
na primeira equação:
e substituir
encontrado; dá o mesmo resultado.)
Passo 6
O que acontece com
e verificação rápida.
- Como observado no Passo 1, a incógnita
não aparece em nenhuma das equações do sistema, então o sistema não impõe nenhuma condição sobre . Isso significa que é livre: pode ser qualquer vetor do espaço considerado. Em particular não há uma expressão única que a sistema imponha relacionando com ; se for preciso expressá-la em função de seria uma escolha adicional (por exemplo, uma solução particular é , mas isso é extra e não decorre do sistema). - Verificação rápida (pra ficar tranquilo): substituindo
e nas duas equações obtém-se identidades verdadeiras (fazendo as somas escalares dá e ), então a solução está correta.