Em cada um dos casos abaixo, sendo A a matriz aumentada de um sistema (com a_{i j}, b_{i}, n \in \mathbb{R} ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
A=\left(\begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & n a_{12} & b_{1} \\\ a_{21} & a_{22} & n a_{22} & b_{2} \\\ a_{31} & a_{32} & n a_{32} & b_{3} \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear (três equações e três incógnitas, assumidas x_{1},x_{2},x_{3}):
A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & n a_{12} & b_{1} \\\ a_{21} & a_{22} & n a_{22} & b_{2} \\\ a_{31} & a_{32} & n a_{32} & b_{3} \end{array}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A matriz dos coeficientes (chamo-a de M) é formada pelas três primeiras colunas: M=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & n a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} & n a_{22} \\\ a_{31} & a_{32} & n a_{32} \end{array}\right).
  • A terceira coluna de M é exatamente n vezes a segunda coluna: isto é, se c_{1},c_{2},c_{3} são as colunas de M, então c_{3}=n c_{2}.
  • O enunciado pergunta: o que se pode afirmar sobre as soluções do sistema representado por essa matriz aumentada?

Passo 2

Interpretação básica da dependência entre colunas e definição usada.
  • A coluna c_{3} sendo múltipla de c_{2} implica que as colunas 2 e 3 são linearmente dependentes. Ou seja, as colunas de M pertencem ao subespaço gerado por c_{1} e c_{2}.
  • Definição útil (explicando devagar): o posto (rank) de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes (ou, equivalentemente, a dimensão do espaço gerado pelas colunas). Aqui, por causa de c_{3}=n c_{2}, o posto de M satisfaz \operatorname{rank}(M)\le 2.Isso porque não se pode ter três colunas independentes quando duas são colineares.

Passo 3

Consequência imediata sobre unicidade da solução.
  • Num sistema com \;3\; incógnitas, para que exista uma solução única é necessário que \operatorname{rank}(M)=3. Mas acabamos de ver que \operatorname{rank}(M)\le 2. Logo, o sistema jamais tem solução única: ou não tem solução, ou tem infinitas soluções.
  • Explicando de forma óbvia: se o número de incógnitas é maior que o posto, existem graus de liberdade (variáveis livres), portanto infinitas soluções quando o sistema é consistente.

Passo 4

Critério de consistência (quando existe solução).
  • O sistema linear representado por M\) e vetor de termos independentes \(b=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T}\) é consistente (tem solução) se, e somente se, o vetor \(b\) estiver no espaço coluna de \(M\) (isto é, \(b\) for combinação linear das colunas de \(M\)). - Como \(c_{3}=n c_{2}\), o espaço coluna de \(M\) é o mesmo que o span de \(\{c_{1},c_{2}\}\). Portanto o sistema é consistente exatamente quando existem escalares \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[b=\alpha c_{1}+\beta c_{2}.
  • Em componentes, essa condição escreve-se como: existem \alpha,\beta com \begin{cases} b_{1}=\alpha a_{11}+\beta a_{12},\\[4pt] b_{2}=\alpha a_{21}+\beta a_{22},\\[4pt] b_{3}=\alpha a_{31}+\beta a_{32}. \end{cases}Se essas três igualdades têm solução (\alpha,\beta)\], então \(b pertence à coluna de M e o sistema é consistente; caso contrário, é inconsistente (sem solução).]

Passo 5

Análise das possibilidades quando \{c_{1},c_{2}\} são linearmente independentes ( \operatorname{rank}(M)=2).
  • Se c_{1} e c_{2} são independentes, então \operatorname{rank}(M)=2.
  • Dois subcasos:
    • Se b pertence ao span \{c_{1},c_{2}\} (ou seja, existe \alpha,\beta acima), então o sistema é consistente e tem grau de liberdade igual a 3-\operatorname{rank}(M)=3-2=1. Ou seja, há infinitas soluções que dependem de um parâmetro livre.
    • Se b não pertence ao span \{c_{1},c_{2}\}, então o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 6

Análise das possibilidades quando \{c_{1},c_{2}\} são linearmente dependentes ( \operatorname{rank}(M)\le 1).
  • Há dois subcasos relevantes:
    1. Se c_{1}=c_{2}=0 (isto é, a_{i1}=a_{i2}=0 para i=1,2,3), então todas as colunas de M são zero. O sistema reduz-se às equações
      0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=b_{i},\qquad i=1,2,3.
      • Se algum b_{i}\neq 0, o sistema é inconsistente (contradição 0=b_{i}\neq 0): sem solução.
      • Se b_{1}=b_{2}=b_{3}=0, então todas as equações são 0=0 e qualquer vetor (x_{1},x_{2},x_{3}) é solução: infinitas soluções com 3 parâmetros livres.
    2. Se c_{1} é múltiplo de c_{2} mas diferente do vetor zero, então \operatorname{rank}(M)=1.
      • Se b pertence ao span desse único vetor (isto é, existe \gamma tal que b=\gamma c_{1}), o sistema é consistente e o espaço de soluções tem dimensão 3-1=2: infinitas soluções com dois parâmetros livres.
      • Se b não pertence ao span, o sistema é inconsistente (sem solução).

Passo 7

Resumo prático, com um exemplo rápido para fixar a intuição.
  • Exemplo numérico ilustrativo: tome c_{1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad c_{3}=n c_{2}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]n\\[2pt]0\end{pmatrix}.
    • Se b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} então b=1\cdot c_{1}+2\cdot c_{2}, o sistema é consistente e tem infinitas soluções com um parâmetro livre.
    • Se b=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, então b não é combinação de c_{1},c_{2}, o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Moral curta e direta: por causa de c_{3}=n c_{2}, nunca haverá solução única. Ou o sistema é impossível (nenhuma solução) ou tem infinitas soluções; qual dos dois ocorre depende se o vetor b está ou não no subespaço gerado por c_{1} e c_{2}.]

Resposta

O sistema nunca tem solução única.
Se o vetor b=(b_{1},b_{2},b_{3})^{T} pertence ao span \{c_{1},c_{2}\}, isto é, existem \alpha,\beta tais que
b=\alpha\begin{pmatrix}a_{11}\\\ a_{21}\\\ a_{31}\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}a_{12}\\\ a_{22}\\\ a_{32}\end{pmatrix},
então o sistema é consistente e tem infinitas soluções.
O número de parâmetros livres depende do posto:
  • se \{c_{1},c_{2}\} são independentes ( \operatorname{rank}(M)=2), há uma família uniparamétrica de soluções (dimensão do espaço de soluções =1);
  • se c_{1} e c_{2} são dependentes mas não nulos ( \operatorname{rank}(M)=1), há uma família com dois parâmetros livres (dimensão =2);
  • se c_{1}=c_{2}=0 e b=0, todas as triplas são solução (dimensão =3).
Se b não pertence ao span \{c_{1},c_{2}\}, então o sistema é inconsistente e não tem solução.

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