Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se
é uma solução de
e
é uma solução de
então
é solução de
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é solução do sistema homogêneo . Isso significa que
-
é solução do sistema não-homogêneo . Isso significa que
A pergunta é: a combinação
é solução do sistema
? Ou seja, será que
Passo 2
Recordando uma propriedade fundamental da multiplicação matricial: a aplicação
é linear. Escrevendo isso de forma explícita:
- Para quaisquer vetores
vale
- Para qualquer escalar
vale
Estas equalidades decorrem da definição de produto matriz-vetor componente a componente (ou da propriedade de linearidade dos operadores lineares).
Passo 3
Usando a linearidade, calculemos
passo a passo:
Agora substituímos as informações que temos:
e
. Portanto
Passo 4
Para que
seja solução de
é preciso que
. Do passo anterior temos
. Logo precisamos de
Subtraindo
dos dois lados obtém-se
, isto é,
. Portanto, em geral, se
então
e
NÃO é solução de
.
Passo 5
Darei um contra-exemplo numérico simples que deixa isso óbvio. Tome a matriz
e vetores escalares (caso unidimensional) assim:
Verificações:
Mas
Portanto neste exemplo
não resolve
. Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.
Passo 6
Observação final e caso especial: se
(isto é, o sistema
é homogêneo), então
também satisfaz
e, pelo fechamento do espaço nulo por combinações lineares,
será solução. Ou seja, a afirmação só é verdadeira no caso especial
; para
é falsa.
Resposta
Falsa