Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Se X_{1} é uma solução de A X=\underline{0} e Y_{1} é uma solução de A X=B então 2 X_{1}+3 Y_{1} é solução de A X=B.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • X_{1} é solução do sistema homogêneo A X=\underline{0}. Isso significa que
A X_{1}=\underline{0}.
  • Y_{1} é solução do sistema não-homogêneo A X=B. Isso significa que
A Y_{1}=B.
A pergunta é: a combinação 2X_{1}+3Y_{1} é solução do sistema A X=B? Ou seja, será que
A(2X_{1}+3Y_{1})=B\\ ?

Passo 2

Recordando uma propriedade fundamental da multiplicação matricial: a aplicação X\mapsto A X é linear. Escrevendo isso de forma explícita:
  • Para quaisquer vetores u,v vale
A(u+v)=Au+Av.
  • Para qualquer escalar c vale
A(cu)=c(Au).
Estas equalidades decorrem da definição de produto matriz-vetor componente a componente (ou da propriedade de linearidade dos operadores lineares).

Passo 3

Usando a linearidade, calculemos A(2X_{1}+3Y_{1}) passo a passo:
A(2X_{1}+3Y_{1})=2A X_{1}+3A Y_{1}.
Agora substituímos as informações que temos: A X_{1}=\underline{0} e A Y_{1}=B. Portanto
A(2X_{1}+3Y_{1})=2\underline{0}+3B=3B.

Passo 4

Para que 2X_{1}+3Y_{1} seja solução de A X=B é preciso que A(2X_{1}+3Y_{1})=B. Do passo anterior temos A(2X_{1}+3Y_{1})=3B. Logo precisamos de
3B=B.
Subtraindo B dos dois lados obtém-se 2B=\underline{0}, isto é, B=\underline{0}. Portanto, em geral, se B\neq\underline{0} então 3B\neq B e 2X_{1}+3Y_{1} NÃO é solução de A X=B.

Passo 5

Darei um contra-exemplo numérico simples que deixa isso óbvio. Tome a matriz A e vetores escalares (caso unidimensional) assim:
A=[1],\qquad X_{1}=[0],\qquad Y_{1}=[1],\qquad B=[1].
Verificações:
A X_{1}=[1]\cdot[0]=[0], \qquad A Y_{1}=[1]\cdot[1]=[1]=B.
Mas
A(2X_{1}+3Y_{1})=[1]\cdot(2\cdot[0]+3\cdot[1])=[3]\neq[1]=B.
Portanto neste exemplo 2X_{1}+3Y_{1} não resolve A X=B. Assim a afirmação do enunciado é falsa em geral.

Passo 6

Observação final e caso especial: se B=\underline{0} (isto é, o sistema A X=B é homogêneo), então Y_{1} também satisfaz A Y_{1}=\underline{0} e, pelo fechamento do espaço nulo por combinações lineares, 2X_{1}+3Y_{1} será solução. Ou seja, a afirmação só é verdadeira no caso especial B=\underline{0}; para B\neq\underline{0} é falsa.

Resposta

Falsa

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