Mostre que y_{1}(x)=x^{2} e y^{2}(x)=-\frac{x^{2}}{2} são ambas soluções para a equação diferencial x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que as duas funções
y_{1}(x)=x^{2}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=-\frac{x^{2}}{2}
satisfazem a equação diferencial
x^{2}y''-4xy'+6y=0.
Informações dadas: as duas expressões de y(x) e a equação diferencial. Pergunta: verificar (mostrar) que cada uma dessas funções, quando substituída na equação, torna a igualdade verdadeira.

Passo 2

Regra útil (explicação didática): a regra do expoente (power rule) diz que, para um n inteiro, a derivada de \,x^{n}\, é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Isso vale também quando há um fator constante multiplicando: se y(x)=c\cdot x^{n} então y'(x)=c\cdot n\,x^{n-1} e y''(x)=c\cdot n(n-1)\,x^{n-2}. Vou usar isso para calcular derivadas.

Passo 3

Cálculo das derivadas para y_{1}(x)=x^{2}.
Aplicando a regra do expoente:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
Agora substituo na equação x^{2}y''-4xy'+6y. Coloco cada termo explicitamente:
x^{2}y_{1}''=x^{2}\cdot 2=2x^{2},
-4x y_{1}'=-4x\cdot(2x)=-8x^{2},
6y_{1}=6\cdot x^{2}=6x^{2}.
Somando os três termos:
2x^{2}-8x^{2}+6x^{2}=0.
Como a soma dá 0, concluímos que y_{1} satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Cálculo das derivadas para y_{2}(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}.
Posso ver y_{2} como um constante -\tfrac{1}{2} vezes x^{2}. Usando a regra do expoente e a regra da constante:
y_{2}'(x)=-\tfrac{1}{2}\cdot 2x=-x,
y_{2}''(x)=-\tfrac{1}{2}\cdot 2= -1.
Substituo na expressão da equação:
x^{2}y_{2}''=x^{2}\cdot(-1)=-x^{2},
-4x y_{2}'=-4x\cdot(-x)=+4x^{2},
6y_{2}=6\cdot\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)=-3x^{2}.
Somando:
- x^{2} + 4x^{2} - 3x^{2}=0.
A soma também dá 0, portanto y_{2} satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Observação útil (atalho que serve para a prova): a equação tem operador linear. Definindo o operador
L[y]=x^{2}y''-4xy'+6y,
temos linearidade no sentido de que, para qualquer constante c,
L[c\,y]=c\,L[y].
Assim, se y é solução ( L[y]=0) então qualquer múltiplo constante c\,y também é solução. Aqui note que y_{2}=-\tfrac{1}{2}y_{1}, então dá para concluir imediatamente que, uma vez que y_{1} é solução, y_{2} também é — o que valida o resultado que obtivemos por substituição direta.

Resposta

y_{1}(x)=x^{2} é solução.
y_{2}(x)=-\dfrac{x^{2}}{2} é solução.

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