Mostre que
e
são ambas soluções para a equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que as duas funções
satisfazem a equação diferencial
Informações dadas: as duas expressões de
e a equação diferencial. Pergunta: verificar (mostrar) que cada uma dessas funções, quando substituída na equação, torna a igualdade verdadeira.
Passo 2
Regra útil (explicação didática): a regra do expoente (power rule) diz que, para um
inteiro, a derivada de
é
Isso vale também quando há um fator constante multiplicando: se
então
e
. Vou usar isso para calcular derivadas.
Passo 3
Cálculo das derivadas para
.
Aplicando a regra do expoente:
Agora substituo na equação
. Coloco cada termo explicitamente:
Somando os três termos:
Como a soma dá
, concluímos que
satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Cálculo das derivadas para
.
Posso ver
como um constante
vezes
. Usando a regra do expoente e a regra da constante:
Substituo na expressão da equação:
Somando:
A soma também dá
, portanto
satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Observação útil (atalho que serve para a prova): a equação tem operador linear. Definindo o operador
temos linearidade no sentido de que, para qualquer constante
,
Assim, se
é solução (
) então qualquer múltiplo constante
também é solução. Aqui note que
, então dá para concluir imediatamente que, uma vez que
é solução,
também é — o que valida o resultado que obtivemos por substituição direta.