Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det}(A B);
(b) A^{-1};
(c) B^{-1};
(d) (B A)^{-1};

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes triangulares
A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & -1 & 2\\\\ 0 & 2 & -3 & 4\\\\ 0 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & -4 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Conteúdo: (a) determinante do produto = produto dos determinantes; (b),(c) inversa de matriz triangular por substituição; (d) inversa do produto = produto das inversas em ordem reversa.

Passo 2

Como A e B são triangulares,
\det(A)=1\cdot2\cdot4\cdot3=24,\qquad \det(B)=(-3)\cdot(-4)\cdot(-1)\cdot(-2)=24.
Logo
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=24\cdot24=576.

Passo 3

Para achar A^{-1}, note que A é triangular superior e A^{-1} também o será. Resolvendo A\,X=I por substituição regressiva obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac52 & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12}\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac38 & -\tfrac5{12}\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & \tfrac16\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac13 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar B^{-1}, note que B é triangular inferior e B^{-1} também o será. Resolvendo B\,Y=I por substituição progressiva obtemos
B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & -\tfrac14 & 0 & 0\\\\ -\tfrac76 & -\tfrac12 & -1 & 0\\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac38 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 5

Como (BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}, basta multiplicar as matrizes de

Resposta

(a) \det(AB)=576
(b)
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac52 & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12}\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac38 & -\tfrac5{12}\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 & \tfrac16\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac13 \end{pmatrix}
(c)
B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac13 & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac14 & -\tfrac14 & 0 & 0\\\\ -\tfrac76 & -\tfrac12 & -1 & 0\\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac38 & -\tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}
(d)
(BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}.

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