Dizemos que uma matriz A é ortogonal se é invertível e A^{-1}=A^{T}.
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Determine quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.
(c) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre matrizes ortogonais: (a) os valores possíveis de \det(A), (b) as matrizes reais de ordem 2 que são simultaneamente antissimétricas e ortogonais e (c) provar que o produto de duas matrizes ortogonais também é ortogonal. Vamos usar propriedades de determinante, caracterização de matrizes antissimétricas e regras de produto transposto.

Passo 2

Para (a) usamos que \det(A^T)=\det(A) e que \det(A^{-1})=1/\det(A). Como A é ortogonal temos A^{-1}=A^T. Portanto
\det(A^{-1})=\det(A^T).
Isto dá
\frac{1}{\det(A)}=\det(A),
ou seja \det(A)^2=1, logo \det(A)=1 ou \det(A)=-1.

Passo 3

Para (b) primeiro escrevemos a forma geral de uma matriz antissimétrica 2\times2:
A=\begin{pmatrix}0 & a\\\ -a & 0\end{pmatrix}.
Em seguida, exigimos ortogonalidade, isto é A^TA=I. Como A^T=-A segue
A^TA=(-A)A=-A^2=a^2I.
Para que isto seja I precisamos de a^2=1, portanto a=1 ou a=-1. As únicas matrizes que satisfazem são
\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c) consideremos A e B ortogonais, ou seja A^T=A^{-1} e B^T=B^{-1}. O produto AB é inversível e
(AB)^T=B^TA^T=B^{-1}A^{-1}=(AB)^{-1}.
Isso mostra que AB também satisfaz a condição de ortogonalidade.

Resposta

(a) \det(A)=1 ou \det(A)=-1.
(b) \displaystyle\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1 & 0\end{pmatrix} e \displaystyle\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
(c) O produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal pois (AB)^T=(AB)^{-1}.

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