Dizemos que uma matriz
é ortogonal se é invertível e
.
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Determine quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.
(c) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.
(a) Determine os possíveis valores para o determinante de uma matriz ortogonal.
(b) Determine quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.
(c) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é também uma matriz ortogonal.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre matrizes ortogonais: (a) os valores possíveis de
, (b) as matrizes reais de ordem 2 que são simultaneamente antissimétricas e ortogonais e (c) provar que o produto de duas matrizes ortogonais também é ortogonal. Vamos usar propriedades de determinante, caracterização de matrizes antissimétricas e regras de produto transposto.
Passo 2
Para (a) usamos que
e que
. Como
é ortogonal temos
. Portanto
Isto dá
ou seja
, logo
ou
.
Passo 3
Para (b) primeiro escrevemos a forma geral de uma matriz antissimétrica
:
Em seguida, exigimos ortogonalidade, isto é
. Como
segue
Para que isto seja
precisamos de
, portanto
ou
. As únicas matrizes que satisfazem são
Passo 4
Para (c) consideremos
e
ortogonais, ou seja
e
. O produto
é inversível e
Isso mostra que
também satisfaz a condição de ortogonalidade.
Resposta
(a)
ou
.
(b) e
.
(c) O produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal pois .
(b)
(c) O produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal pois