(3,0) Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
usando o método do escalonamento.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz A usando o método do escalonamento.
Informações dadas (a matriz):
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Não há outras perguntas — só queremos \det(A).

Passo 2

Relembrando as propriedades de operações elementares sobre linhas e como elas afetam o determinante (isso é essencial para escalonar sem perder o controle do determinante):
  • Trocar duas linhas (por exemplo R_i \leftrightarrow R_j) multiplica o determinante por -1.
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo R_i \leftarrow R_i + kR_j) não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Evitamos isso se queremos manter o cálculo simples.)
Estratégia: usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (que não alteram o determinante) e, se necessário, trocar linhas (lembrando de multiplicar por -1 quando fizermos a troca). O objetivo é chegar numa matriz triangular superior; aí o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelos fatores das trocas/multiplicações que fizemos.

Passo 3

Começamos com A:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Queremos zerar abaixo do pivô da primeira coluna ( a_{11}=1). Subtraímos R_1 de R_4:
R_4 \leftarrow R_4 - R_1
Essa operação é do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra” (aqui múltiplo = -1), então o determinante não muda. A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Passo 4

Agora usamos o pivô a_{22}=1 (segunda linha, segunda coluna) para zerar abaixo na coluna 2. Subtraímos R_2 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2
Novamente, operação que não altera o determinante. A matriz passa a ser:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Passo 5

Olhe o bloco nas linhas 3 e 4, colunas 3 e 4:
\begin{pmatrix} -3 & 0 \\\\ -1 & -1 \end{pmatrix}
Para eliminar sem criar frações difíceis, é conveniente trocar R_3 e R_4, porque R_4 tem -1 na coluna 3 (pivot mais simples). Ao trocar R_3 e R_4 realizamos uma operação que multiplica o determinante por -1. Façamos a troca:
R_3 \leftrightarrow R_4
Após a troca a matriz é:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}
Observação: ao final teremos que multiplicar o produto da diagonal por -1 por causa desta troca.

Passo 6

Agora usamos o novo pivô a_{33}=-1 (linha 3, coluna 3) para zerar a_{43}=-3. Fazemos:
R_4 \leftarrow R_4 - 3R_3
Essa operação não altera o determinante. Calculando a linha 4:
  • terceira entrada: -3 - 3\cdot(-1) = -3 + 3 = 0,
  • quarta entrada: 0 - 3\cdot(-1) = 0 + 3 = 3.
A matriz fica triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Passo 7

Agora usamos duas propriedades finais:
  1. A matriz é triangular superior, então o determinante dela é o produto dos elementos da diagonal principal.
  2. Tivemos uma troca de linhas (no Passo 5), o que multiplica o determinante por -1.
Produto das diagonais da matriz triangular:
1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 3 = -3.
Ajustando pelo sinal da troca de linhas (multiplicar por -1):
\det(A) = -1 \times (-3) = 3.

Resposta

3

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