Relembrando as propriedades de operações elementares sobre linhas e como elas afetam o determinante (isso é essencial para escalonar sem perder o controle do determinante):
Trocar duas linhas (por exemplo R_i \leftrightarrow R_j) multiplica o determinante por -1.
Somar a uma linha um múltiplo de outra linha (por exemplo R_i \leftarrow R_i + kR_j) não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. (Evitamos isso se queremos manter o cálculo simples.)
Estratégia: usar apenas operações do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra” (que não alteram o determinante) e, se necessário, trocar linhas (lembrando de multiplicar por -1 quando fizermos a troca). O objetivo é chegar numa matriz triangular superior; aí o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelos fatores das trocas/multiplicações que fizemos.
Para eliminar sem criar frações difíceis, é conveniente trocar R_3 e R_4, porque R_4 tem -1 na coluna 3 (pivot mais simples). Ao trocar R_3 e R_4 realizamos uma operação que multiplica o determinante por -1. Façamos a troca: