Encontre o valor de mende modo que cada condição seja satisfeita :
O ângulo entre r_{1}:\left\{\begin{array}{c}y=m x+3 \\\ z=x-2\end{array}\right\} \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{c}\boldsymbol{x}=\mathbf{4} \\\ \boldsymbol{y}=\frac{z+1}{-1}\end{array}\right. seja 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede o valor de [m) tal que o ângulo entre elas seja 30^\circ.
Dados fornecidos:
  • (r_{1}: \begin{cases}y=m x+3\\[4pt] z=x-2\end{cases}]
  • r_{2}:\begin{cases}x=4\\[4pt] y=\dfrac{z+1}{-1}\end{cases}
O que se pede:
  • Encontrar o(s) valor(es) de m para que o ângulo entre r_{1} e r_{2} seja \,30^\circ.]

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica para extrair o vetor direção.
Para r_{1} escolho o parâmetro t com x=t. Então
x=t,\qquad y=m t+3,\qquad z=t-2.
Portanto um ponto qualquer de r_{1} é (t,\;m t+3,\;t-2) e o vetor direção de r_{1} é
\mathbf{v}_1=(1,\;m,\;1),
pois ao variar t em 1 unidade, x e z variam em 1 e y varia em m.
Para r_{2} escolho o parâmetro s com z=s. Como x=4 e y=-(z+1), obtemos
x=4,\qquad y=-s-1,\qquad z=s.
Escrevendo um ponto como (4,\;-1,\;0)+s(0,\;-1,\;1), o vetor direção de r_{2} é
\mathbf{v}_2=(0,\;-1,\;1).

Passo 3

Fórmula para o ângulo entre duas retas (ângulo entre seus vetores direção): se \theta é o ângulo então
\cos\theta=\dfrac{|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2|}{\|\mathbf{v}_1\|\,\|\mathbf{v}_2\|}.
Explicando: \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 é o produto escalar; \|\mathbf{v}\| é o comprimento (norma) do vetor; o valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo entre as retas.
Queremos \theta=30^\circ, então \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calculamos produto escalar e normas:
Produto escalar:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = (1,\;m,\;1)\cdot(0,\;-1,\;1)=1\cdot0 + m\cdot(-1) + 1\cdot1 = -m+1.
Normas:
\|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{1^2+m^2+1^2}=\sqrt{m^2+2}, \qquad \|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.
Agora aplicamos a fórmula com \theta=30^\circ:
\frac{| -m+1 |}{\sqrt{m^2+2}\,\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Resolvemos a equação. Primeiro simplifico o lado direito multiplicando por \sqrt{2}:
|1-m| = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\sqrt{2}\,\sqrt{m^2+2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\,\sqrt{m^2+2}.
Agora elevamos ao quadrado (ao quadrar perdemos informação de sinal, por isso depois verificamos a solução):
(1-m)^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 (m^2+2) = \frac{6}{4}(m^2+2)=\frac{3}{2}(m^2+2).
Multiplicando ambos os lados por 2:
2(1-m)^2 = 3(m^2+2).
Expandindo o lado esquerdo:
2(1-2m+m^2)=2-4m+2m^2.
Igualando:
2-4m+2m^2 = 3m^2+6.
Coloco tudo em um lado:
0 = 3m^2+6 - (2-4m+2m^2) = 3m^2+6-2+4m-2m^2 = m^2+4m+4.
Isso dá
m^2+4m+4=0.
Reconheço um quadrado perfeito:
(m+2)^2=0,
logo
m=-2.

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que o sinal não foi perdido):
Com m=-2 temos \mathbf{v}_1=(1,\,-2,\;1). O produto escalar com \mathbf{v}_2 é
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = -(-2)+1 = 3.
Normas: \|\mathbf{v}_1\|=\sqrt{(-2)^2+2}=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}, \|\mathbf{v}_2\|=\sqrt{2}.
Então
\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
portanto \theta=30^\circ. A solução é válida.

Resposta

m=-2

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