Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
\quad 4 x_{1}-8 x_{2}=12
3 x_{1}-6 x_{2}=9
-2 x_{1}+4 x_{2}=-6

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear formado por três equações e duas incógnitas e pede que o resolvamos por eliminação de Gauss–Jordan:
\begin{cases} 4x_{1}-8x_{2}=12\\[4pt] 3x_{1}-6x_{2}=9\\[4pt] -2x_{1}+4x_{2}=-6 \end{cases}
Informações relevantes que temos: as três equações escritas acima (elas serão usadas para montar a matriz aumentada). A pergunta é: encontrar todas as soluções do sistema usando o método de Gauss–Jordan.]

Passo 2

Vamos traduzir o sistema para a matriz aumentada e lembrar o que o método de Gauss–Jordan faz. Montamos a matriz aumentada com as colunas das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
\left[\begin{array}{cc|c} 4 & -8 & 12\\[4pt] 3 & -6 & 9\\[4pt] -2 & 4 & -6 \end{array}\right]
No Gauss–Jordan queremos transformar essa matriz até a forma reduzida por linhas (RREF), isto é, obter pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô. Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução) são:
\text{(i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra.}ú
Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada conta.]

Passo 3

Primeiro passo prático: obter um pivô 1 na primeira linha, primeira coluna. Dividimos a primeira linha por 4:
\text{R}_1 \leftarrow \frac{1}{4}\text{R}_1
Isso dá a nova matriz
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 3 & -6 & 9\\[4pt] -2 & 4 & -6 \end{array}\right].
Agora temos um pivô 1 em posição (1,1).]

Passo 4

Agora eliminamos os elementos não nulos das outras linhas na coluna do pivô (primeira coluna), para obter zeros abaixo e acima do pivô. Fazemos:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 3\text{R}_1 \qquad\text{e}\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 2\text{R}_1.
Calculando cada uma:
  • Para \text{R}_2: [3,\,-6,\;9] - 3\cdot[1,\,-2,\;3] = [3-3,\,-6+6,\;9-9] = [0,0,0].
  • Para \text{R}_3: [-2,\;4,\,-6] + 2\cdot[1,\,-2,\;3] = [-2+2,\;4-4,\,-6+6] = [0,0,0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

A matriz já está em forma reduzida por linhas (RREF): a primeira linha tem pivô 1 e as outras são linhas nulas. Não há outro pivô na segunda coluna porque as linhas abaixo são todas zero. Portanto a RREF é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretamos a RREF como sistema de equações novamente. A primeira linha corresponde a
x_{1}-2x_{2}=3.
As linhas nulas não trazem novas condições. Como a coluna de x_{2} não tem pivô, \,x_{2}\, é uma variável livre. Chamamos essa variável livre de parâmetro; seja \,t\in\mathbb{R} tal que
x_{2}=t.
Da equação da primeira linha obtemos x_{1} em função de t:
x_{1}=2x_{2}+3=2t+3.

Passo 7

Portanto o conjunto de soluções é dado por todas as tuplas (x_{1},x_{2}) da forma
(x_{1},x_{2})=(2t+3,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Em forma vetorial podemos escrever
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto significa que as três equações do enunciado são dependentes entre si (uma é múltiplo das outras) e o sistema é consistente com infinitas soluções que formam uma reta no plano x_{1}x_{2}. Exemplos numéricos: para t=0 temos (x_{1},x_{2})=(3,0); para t=1 temos (5,1).]

Resposta

\{(2t+3,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}

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