Informações relevantes que temos: as três equações escritas acima (elas serão usadas para montar a matriz aumentada). A pergunta é: encontrar todas as soluções do sistema usando o método de Gauss–Jordan.]
Passo 2
Vamos traduzir o sistema para a matriz aumentada e lembrar o que o método de Gauss–Jordan faz. Montamos a matriz aumentada com as colunas das incógnitas e a coluna dos termos independentes:
No Gauss–Jordan queremos transformar essa matriz até a forma reduzida por linhas (RREF), isto é, obter pivôs iguais a 1 e zeros em toda a coluna do pivô. Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto solução) são:
\text{(i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra.}ú
Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada conta.]
Passo 3
Primeiro passo prático: obter um pivô 1 na primeira linha, primeira coluna. Dividimos a primeira linha por 4:
A matriz já está em forma reduzida por linhas (RREF): a primeira linha tem pivô 1 e as outras são linhas nulas. Não há outro pivô na segunda coluna porque as linhas abaixo são todas zero. Portanto a RREF é
Interpretamos a RREF como sistema de equações novamente. A primeira linha corresponde a
x_{1}-2x_{2}=3.
As linhas nulas não trazem novas condições. Como a coluna de x_{2} não tem pivô, \,x_{2}\, é uma variável livre. Chamamos essa variável livre de parâmetro; seja \,t\in\mathbb{R} tal que
x_{2}=t.
Da equação da primeira linha obtemos x_{1} em função de t:
x_{1}=2x_{2}+3=2t+3.
Passo 7
Portanto o conjunto de soluções é dado por todas as tuplas (x_{1},x_{2}) da forma
Isto significa que as três equações do enunciado são dependentes entre si (uma é múltiplo das outras) e o sistema é consistente com infinitas soluções que formam uma reta no plano x_{1}x_{2}. Exemplos numéricos: para t=0 temos (x_{1},x_{2})=(3,0); para t=1 temos (5,1).]