Calcule o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & -1 & 3 \\[6pt] 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 4\times4. Para simplificar a conta, vamos usar a expansão por cofatores (Laplace) sobre a segunda linha, pois ela tem dois zeros.]

Passo 2

Aplicando expansão por cofatores na segunda linha, temos
\det(A) = a_{22}\,C_{22} + a_{24}\,C_{24} = 2\cdot(-1)^{2+2}\det(M_{22}) + 1\cdot(-1)^{2+4}\det(M_{24})\,.
Como (-1)^{2+2}=1 e (-1)^{2+4}=1, segue
\det(A) = 2\,\det(M_{22}) + \det(M_{24})\,.

Passo 3

O menor M_{22} é obtido removendo a segunda linha e a segunda coluna de A:
M_{22} = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 0 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante por regra de Sarrus ou expansão:
\det(M_{22}) = 3\bigl((-1)\cdot0 - 3\cdot2\bigr) -5\bigl(2\cdot0 - 3\cdot1\bigr) +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) = 3(0-6) -5(0-3) = -18 +15 = -3.

Passo 4

O menor M_{24} é obtido removendo a segunda linha e a quarta coluna de A:
M_{24} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 \\\\ 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante:
\det(M_{24}) = 3\bigl(0\cdot2 -(-1)\cdot1\bigr) -(-1)\bigl(2\cdot2 -(-1)\cdot1\bigr) +5\bigl(2\cdot1 - 0\cdot1\bigr)
= 3(0+1) +1(4+1) +5(2-0) = 3 +5 +10 = 18.

Passo 5

Substituindo em \det(A)=2\,\det(M_{22})+\det(M_{24}), obtemos
\det(A) = 2\cdot(-3) + 18 = -6 + 18 = 12.

Resposta

12

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