Classifique e determine o conjunto solução do sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=4 \\\\ 2 x+5 y-2 z=3 \\\ x+7 y-7 z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema
\begin{cases} x+y+z=4,\\\\ 2x+5y-2z=3,\\\ x+7y-7z=5 \end{cases}
ou seja, verificar se ele é compatível (tendo solução única ou infinitas soluções) ou incompatível (sem solução), e, em caso de compatibilidade, determinar o conjunto-solução.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x = 4 - y - z.

Passo 3

Substituímos x=4-y-z na segunda e na terceira equações:
Segunda equação:
2(4 - y - z) + 5y - 2z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 8 -2y -2z +5y -2z =3 \quad\Longrightarrow\quad 3y -4z = -5.
Terceira equação:
(4 - y - z) + 7y - 7z =5 \quad\Longrightarrow\quad 4 - y - z +7y -7z =5 \quad\Longrightarrow\quad 6y -8z =1 \quad\Longrightarrow\quad 3y -4z = \tfrac12.

Passo 4

Dos dois resultados temos
3y -4z = -5 \quad\text{e}\quad 3y -4z = \tfrac12.
Essas equações são contraditórias, pois não há (y,z) que satisfaça simultaneamente -5 = \tfrac12.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução), logo o conjunto-solução é o conjunto vazio, isto é,
\varnothing.

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