Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}a & -1 \\\ a & b\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{cc}-b & a \\\\ -1 & 3\end{array}\right] e D=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 0 & 3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right].
Determina os valores de a e b para que 2 A=B+C^{T}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes A, B e C e pede para determinar a e b de modo que
2A = B + C^T.
Vamos usar operações de escalar em matriz, soma de matrizes, transposta e igualdade de matrizes.

Passo 2

Calculamos 2A:
2A = 2 \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ 6 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Obtemos a transposta de C:
C = \begin{pmatrix}-b & a \\\\ -1 & 3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad C^T = \begin{pmatrix}-b & -1 \\\ a & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Somamos B e C^T:
B + C^T = \begin{pmatrix}a & -1 \\\ a & b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-b & -1 \\\ a & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - b & -2 \\\\ 2a & b + 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Igualamos cada elemento de B + C^T\) ao correspondente de \(2A\): \[\begin{cases} a - b = 4,\\\\ -2 = -2,\\\\ 2a = 6,\\\ b + 3 = 2. \end{cases}
Da terceira equação vem a = 3\]. Da quarta vem \(b = -1. A primeira confirma: 3 - (-1) = 4.

Resposta

a = 3,\; b = -1.

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