(integral indefinida)
\int x \operatorname{sen}(3 x+1) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,\operatorname{sen}(3x+1)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = \operatorname{sen}(3x+1)\,dx.
Dessa escolha vem
du = dx,
e para obter v integramos dv:
v = \int \operatorname{sen}(3x+1)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x+1).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int x\,\operatorname{sen}(3x+1)\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{x}{3}\cos(3x+1) - \int\Bigl(-\frac{1}{3}\cos(3x+1)\Bigr)\,dx
\quad = -\frac{x}{3}\cos(3x+1) + \frac{1}{3}\int \cos(3x+1)\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral restante:
\int \cos(3x+1)\,dx = \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x+1).
Logo,
\frac{1}{3}\int \cos(3x+1)\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x+1) = \frac{1}{9}\operatorname{sen}(3x+1).

Resposta

-\frac{x}{3}\cos(3x+1) \;+\;\frac{1}{9}\operatorname{sen}(3x+1)\;+\;C.

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