Calcule o determinante da matriz:
A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4} \\\\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4} \\\\ 1 & z & z^{2} & z^{3} & z^{4} \\\\ 1 & w & w^{2} & w^{3} & w^{4} \\\\ 1 & t & t^{2} & t^{3} & t^{4}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & x & x^{2} & x^{3} & x^{4}\\\\ 1 & y & y^{2} & y^{3} & y^{4}\\\\ 1 & z & z^{2} & z^{3} & z^{4}\\\\ 1 & w & w^{2} & w^{3} & w^{4}\\\\ 1 & t & t^{2} & t^{3} & t^{4} \end{pmatrix}
Este tipo de matriz é conhecida como matriz de Vandermonde de ordem 5. Para calcular o determinante, vamos usar a propriedade geral dessa matriz.

Passo 2

Seja V a matriz de Vandermonde de dimensão n construída a partir dos valores a_{1},a_{2},\dots,a_{n}, ou seja
V_{ij}=a_{i}^{\,j-1},\quad 1\le i,j\le n.
O teorema do determinante de Vandermonde diz que
\det(V)=\prod_{1\le i<j\le n}\bigl(a_{j}-a_{i}\bigr).
A demonstração se baseia em operações de coluna que tornam a matriz triangular, extraindo fatores \bigl(a_{j}-a_{i}\bigr).

Passo 3

No nosso caso n=5 e (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})=(x,y,z,w,t). Logo
\det(A) =\prod_{1\le i<j\le5}(a_{j}-a_{i}) =(y-x)(z-x)(w-x)(t-x)\,(z-y)(w-y)(t-y)\,(w-z)(t-z)(t-w).

Resposta

\det(A)=(y-x)(z-x)(w-x)(t-x)\,(z-y)(w-y)(t-y)\,(w-z)(t-z)(t-w).

Exercícios relacionados