Sejam p, q \in \mathbb{Z} dois números primos distintos e considere o conjunto definido por
H=\left\{x \in \mathbb{Q}^{*} ; x=p^{r} \cdot q^{s} \text { sendo } r, s \in \mathbb{Z}\right\}
(a) Mostre que H é um grupo com a operação usual de multiplicação.
(b) H é também um subgrupo? Se sim, de qual grupo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá dois primos distintos p,q\in\mathbb{Z} e define
H=\bigl\{x\in\mathbb{Q}^*\mid x=p^r q^s\text{ com }r,s\in\mathbb{Z}\bigr\}.
Queremos (a) mostrar que H é grupo sob multiplicação usual e (b) dizer de qual grupo ele é subgrupo. Vamos usar teoria de grupos elementares: fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade herdada.

Passo 2

(Fechamento) Seja x=p^r q^s e y=p^u q^v dois elementos de H. Então
xy = p^r q^s \cdot p^u q^v = p^{r+u}\,q^{s+v}.
Como r+u e s+v são inteiros, segue xy\in H. Logo H é fechado sob multiplicação.

Passo 3

(Neutro) O elemento neutro em \mathbb{Q}^* é 1. Como
1 = p^0 q^0,
vemos que 1\in H. A associatividade da multiplicação já vale em \mathbb{Q}^*, e portanto em H também.

Passo 4

(Inverso) Se x=p^r q^s\in H, então seu inverso em \mathbb{Q}^* é
x^{-1} = p^{-r} q^{-s},
e como -r,\,-s\in\mathbb{Z}, temos x^{-1}\in H. Assim todo elemento de H é invertível em H.

Passo 5

Concluímos que H satisfaz fechamento, possui elemento neutro, inversos e associatividade, logo é um grupo sob multiplicação.

Passo 6

Como H\subseteq\mathbb{Q}^* e a operação é a mesma, H é subgrupo do grupo multiplicativo \bigl(\mathbb{Q}^*,\cdot\bigr). Basta notar que os critérios de subgrupo (não‐vazio, fechamento e inversos) já foram verificados.

Resposta

(a) H é um grupo abeliano sob multiplicação.
(b) Sim. H é um subgrupo de \bigl(\mathbb{Q}^*,\cdot\bigr).

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