Sejam
dois números primos distintos e considere o conjunto definido por
(a) Mostre que
é um grupo com a operação usual de multiplicação.
(b)
é também um subgrupo? Se sim, de qual grupo? Justifique sua resposta.
(b)
Passo 1
O enunciado dá dois primos distintos
e define
Queremos (a) mostrar que
é grupo sob multiplicação usual e (b) dizer de qual grupo ele é subgrupo. Vamos usar teoria de grupos elementares: fechamento, elemento neutro, inverso e associatividade herdada.
Passo 2
(Fechamento) Seja
e
dois elementos de
. Então
Como
e
são inteiros, segue
. Logo
é fechado sob multiplicação.
Passo 3
(Neutro) O elemento neutro em
é
. Como
vemos que
. A associatividade da multiplicação já vale em
, e portanto em
também.
Passo 4
(Inverso) Se
, então seu inverso em
é
e como
, temos
. Assim todo elemento de
é invertível em
.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz fechamento, possui elemento neutro, inversos e associatividade, logo é um grupo sob multiplicação.
Passo 6
Como
e a operação é a mesma,
é subgrupo do grupo multiplicativo
. Basta notar que os critérios de subgrupo (não‐vazio, fechamento e inversos) já foram verificados.
Resposta
(a)
é um grupo abeliano sob multiplicação.
(b) Sim. é um subgrupo de
.
(b) Sim.