Considere as matrizes A n \times m, B n \times a e D p \times p tal que \det(A) \neq 0 e \det(D) \neq 0. Encontre a inversa da matriz:
\begin{bmatrix} A & B \\\\ 0 & D \end{bmatrix}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz em blocos
M = \begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & D \end{pmatrix},
onde A é n\times n invertível, B é n\times p, e D é p\times p invertível.
O conteúdo é a inversão de matrizes triangulares em blocos.

Passo 2

Suponha que a inversa de M tenha também formato em blocos
M^{-1}=\begin{pmatrix} E & F\\\ G & H \end{pmatrix},
onde E, F, G e H são matrizes de dimensões compatíveis. Para M^{-1} ser de fato a inversa, deve valer
M\,M^{-1}=I = \begin{pmatrix}I_n&0\\\ 0&I_p\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcule o produto em blocos:
M\,M^{-1} =\begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F\\\ G & H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AE + BG & AF + BH\\\ D\,G & D\,H \end{pmatrix}.
Igualando ao identidade em blocos, obtemos o sistema
\begin{cases} AE + B\,G = I_n,\\\ AF + B\,H = 0,\\\ D\,G = 0,\\\ D\,H = I_p. \end{cases}

Passo 4

Como D é invertível, da equação D\,G=0 segue G=0. Da equação D\,H=I_p segue
H = D^{-1}.
Substituindo em AE + B\,G=I_n
AE = I_n \quad\Longrightarrow\quad E = A^{-1}.
E em AF + B\,H=0 com H=D^{-1} e A invertível, temos
A\,F + B\,D^{-1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad F = -A^{-1}B\,D^{-1}.

Resposta

A inversa é
M^{-1} =\begin{pmatrix} A^{-1} & -\,A^{-1}B\,D^{-1}\\[6pt] 0 & D^{-1} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados