Encontre A-1, onde:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & x \\\\ 1 & 1 & x^{2} \\\\ 2 & 2 & x^{3}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & x\\\\ 1 & 1 & x^2\\\\ 2 & 2 & x^3 \end{pmatrix}.
O conteúdo é inversão de matriz 3\times3, que envolve calcular o determinante de A e a matriz adjunta (matriz de cofatores transposta).

Passo 2

Calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & x^2\\\ 2 & x^3\end{pmatrix} -0\cdot(\cdots) + x\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix}.
Aqui
\det\begin{pmatrix}1 & x^2\\\ 2 & x^3\end{pmatrix} =1\cdot x^3 - 2\cdot x^2 =x^2(x-2), \qquad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-2\cdot1=0.
Logo
\det(A)=1\cdot x^2(x-2)+x\cdot0 =x^2(x-2).

Passo 3

Montar a matriz de cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A_{\!ij}),
sendo A_{\!ij} a submatriz obtida ao eliminar linha i e coluna j. Calculamos os principais menores:
M 11: \det\begin{pmatrix}1&x^2\\\ 2&x^3\end{pmatrix}=x^2(x-2), logo
C_{11}=+\,x^2(x-2).
M 12: \det\begin{pmatrix}1&x^2\\\ 2&x^3\end{pmatrix}=x^2(x-2), porém (-1)^{1+2}=-1, então
C_{12}=-\,x^2(x-2).
M 13: \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&2\end{pmatrix}=0, e (-1)^{1+3}=+1, dá
C_{13}=0.
M 21: \det\begin{pmatrix}0&x\\\ 2&x^3\end{pmatrix}=0\cdot x^3-2\cdot x=-2x, e (-1)^{2+1}=-1,
C_{21}=+2x.
M 22: \det\begin{pmatrix}1&x\\\ 2&x^3\end{pmatrix}=1\cdot x^3-2\cdot x=x(x^2-2), (-1)^{2+2}=+1,
C_{22}=x(x^2-2).
M 23: \det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&2\end{pmatrix}=1\cdot2-2\cdot0=2, (-1)^{2+3}=-1,
C_{23}=-2.
M 31: \det\begin{pmatrix}0&x\\\ 1&x^2\end{pmatrix}=0\cdot x^2-1\cdot x=-x, (-1)^{3+1}=+1,
C_{31}=-x.
M 32: \det\begin{pmatrix}1&x\\\ 1&x^2\end{pmatrix}=1\cdot x^2-1\cdot x=x(x-1), (-1)^{3+2}=-1,
C_{32}=-\,x(x-1).
M 33: \det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1, (-1)^{3+3}=+1,
C_{33}=1.
Portanto a matriz de cofatores é
C=\begin{pmatrix} x^2(x-2) & -x^2(x-2) & 0\\\\ 2x & x(x^2-2) & -2\\\\ -\,x & -\,x(x-1) & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta é \mathrm{adj}(A)=C^{T}, isto é,
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} x^2(x-2) & 2x & -x\\\\ -\,x^2(x-2) & x(x^2-2) & -\,x(x-1)\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Então, por definição,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) =\frac{1}{x^2(x-2)}\begin{pmatrix} x^2(x-2) & 2x & -x\\\\ -\,x^2(x-2) & x(x^2-2) & -\,x(x-1)\\\\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \displaystyle \frac{2}{x(x-2)} & \displaystyle -\frac{1}{x(x-2)} \\[6pt] -1 & \displaystyle \frac{x^2-2}{x(x-2)} & \displaystyle -\frac{x-1}{x(x-2)} \\[6pt] 0 & \displaystyle -\frac{2}{x^2(x-2)} & \displaystyle \frac{1}{x^2(x-2)} \end{pmatrix}
válida para x \neq 0 e x \neq 2.]

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