Calcule o determinante da matriz A=\left[\begin{array}{ccccc}4 & 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ -2 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 7 & 0 & 10 & 4 \\\\ 6 & -1 & 4 & 2 & 8 \\\\ 1 & 3 & 0 & -1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & -2 & 0 \\\\ -2 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 7 & 0 & 10 & 4 \\\\ 6 & -1 & 4 & 2 & 8 \\\\ 1 & 3 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve expansão de cofactores e uso de zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observamos que a coluna 3 de A tem só um elemento não-nulo: a_{4,3}=4. Logo, pela expansão em cofatores sobre a coluna 3,
\det(A) = a_{4,3} \,(-1)^{4+3}\,\det(M),
onde M é a matriz 4\times4 obtida de A removendo a linha 4 e a coluna 3. Como (-1)^{7}=-1, temos
\det(A) = -4\,\det(M).

Passo 3

A matriz M é formada pelas linhas 1,2,3,5 e colunas 1,2,4,5 de A:
M = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 & 0 \\\\ -2 & 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 7 & 10 & 4 \\\\ 1 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Para \det(M), fazemos expansão de cofactores na coluna 4, que só tem entradas não-nulas em (2,4) e (3,4).

Passo 4

Pela expansão em cofatores sobre a coluna 4 de M:
\det(M) = a_{2,4}(-1)^{2+4}\det(M_2) + a_{3,4}(-1)^{3+4}\det(M_3),
onde
a_{2,4}=1,\quad (-1)^{6}=1,\quad a_{3,4}=4,\quad (-1)^{7}=-1.
Assim
\det(M)=1\cdot\det(M_2)\;-\;4\cdot\det(M_3).

Passo 5

Escrevemos os menores M_2 e M_3: M_2 elimina linha 2 e coluna 4:
M_2=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\\\ 1 & 7 & 10\\\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix},
\det(M_2) =4\bigl(7\cdot(-1)-10\cdot3\bigr) -1\bigl(1\cdot(-1)-10\cdot1\bigr) -2\bigl(1\cdot3-7\cdot1\bigr) =-129. M_3 elimina linha 3 e coluna 4:
M_3=\begin{pmatrix} 4 & 1 & -2\\\\ -2 & 0 & 3\\\\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix},
\det(M_3) =4\bigl(0\cdot(-1)-3\cdot3\bigr) -1\bigl(-2\cdot(-1)-3\cdot1\bigr) -2\bigl(-2\cdot3-0\cdot1\bigr) =-23.

Passo 6

Substituindo em \det(M)=\det(M_2)-4\,\det(M_3):
\det(M)=-129 -4\cdot(-23)=-129+92=-37.
Logo
\det(A)=-4\cdot(-37)=148.

Resposta

148

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