Escalone as matrizes abaixo e determine seus respectivos postos.
(c) C=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & -2 \\\\ 3 & -2 & -1 & -1 \\\\ 2 & -5 & -1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para escalar por eliminação de Gauss a matriz
C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 3 & -2 & -1 & -1\\\\ 2 & -5 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e então determinar o posto de C. O conteúdo é eliminação de Gauss para encontrar uma forma escalonada e, em seguida, contar o número de linhas não-nulas.

Passo 2

Usamos a_{11}=2 como pivô e eliminamos abaixo:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{2}R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso dá
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\\\ 0 & -6 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô na segunda linha é -\tfrac{7}{2}. Eliminamos abaixo:
m = \frac{-6}{-\tfrac{7}{2}} = \frac{12}{7},\qquad R_3 \leftarrow R_3 - m\,R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{6}{7} & -\tfrac{10}{7} \end{pmatrix}.

Passo 4

Já temos forma escalonada (cada linha tem pivô não nulo). Há três linhas não-nulas, logo o posto de C é o número de pivôs, isto é, 3.

Resposta

A forma escalonada de C é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 0 & -\tfrac{7}{2} & \tfrac{1}{2} & 2\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{6}{7} & -\tfrac{10}{7} \end{pmatrix}
e o posto de C é 3.

Exercícios relacionados