Q9: O conjunto solução do sistema linear abaixo,
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0 \\\\ 1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right]
é o complemento ortogonal de:
(A) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -3 & -1\end{array}\right].
(B) \operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,0,-3),(3,5,-1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 5\\\\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} x \;=\;0
e pergunta: o conjunto-solução deste sistema é o complemento ortogonal de qual subespaço?
O conteúdo usado será a relação entre espaços nulos e espaços de linhas (ou colunas) de uma matriz:
– O espaço nulo de A é exatamente o conjunto das soluções de Ax=0.
– Em \mathbb{R}^n, o espaço nulo de A é o complemento ortogonal do espaço de linhas de A.

Passo 2

Note que as equações
\begin{cases} x_1 - x_2 + 3x_3 = 0,\\\ x_1 + 0\cdot x_2 + 5x_3 = 0,\\\ x_1 - 3x_2 - x_3 = 0 \end{cases}
podem ser vistas como \langle\text{linha}_i,\,x\rangle=0 para i=1,2,3. Ou seja, todo vetor solução x é ortogonal a cada vetor–linha da matriz.

Passo 3

Em consequência, o espaço dos x tais que Ax=0 (o espaço nulo de A) é exatamente o complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas de A.

Passo 4

As três linhas de A são os vetores
r_1=(1,\,-1,\,3),\quad r_2=(1,\,0,\,5),\quad r_3=(1,\,-3,\,-1),
logo o espaço de linhas de A é
\Span\{r_1,r_2,r_3\}.

Passo 5

Portanto, o conjunto-solução do sistema homogêneo é o complemento ortogonal de
\Span\{(1,-1,3),\,(1,0,5),\,(1,-3,-1)\}.

Resposta

Nenhuma das alternativas (A) ou (B) está correta.
O complemento ortogonal é o de \Span\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.

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