(b) Dizer se a matriz A é invertível e justificar a resposta.
Informações dadas que vamos usar: os elementos de A conforme a matriz acima (repito: peguei todos os coeficientes diretamente da matriz dada).
Passo 2
Como escolher o método: note que a terceira coluna de A tem dois zeros nas primeiras duas entradas (a_{13}=0 e a_{23}=0). Isso facilita usar a expansão de Laplace ao longo da coluna 3 (expansão por cofatores), porque só teremos que calcular dois cofatores não nulos. Vou explicar o que é essa expansão e porquê funciona.
A expansão de Laplace ao longo da coluna j diz que
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Aqui n=4 e escolhemos j=3.
Passo 3
Aplicando a fórmula à coluna 3 temos (apenas i=3,4 contribuem porque a_{13}=a_{23}=0):
\det(A)=a_{33}C_{33}+a_{43}C_{43}.
Como a_{33}=-3 e a_{43}=3, e lembrando C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), temos
Agora escrevo explicitamente as duas menores 3\times3 que aparecem (retirei a linha 3 e a coluna 3 para M_{33}, e a linha 4 e a coluna 3 para M_{43}, todos dados diretamente da matriz A):
Vou calcular \det(M_{33}) e \det(M_{43}) separadamente.
Passo 5
Cálculo de \det(M_{33}). Vou expandir por cofactores pela primeira linha (ou usar a regra de Sarrus; o procedimento é equivalente). Para a primeira linha de M_{33} temos:
Então o determinante da matriz A é -240. (Respira: apesar dos muitos números, as operações são só multiplicar e somar — você consegue!)
Passo 8
Critério de invertibilidade e conclusão: um resultado importante (e útil na prova) é que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Como aqui encontramos \det(A)=-240\neq0, concluímos que A é invertível. Parabéns — você acabou de calcular o determinante e verificar a invertibilidade; é exatamente isso que costumam pedir na prova.
Resposta
(a) \det(A)=-240
(b) Sim. Como \det(A)=-240\neq0, a matriz A é invertível.