(a) Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{rrrr} 3 & 3 & 0 & 5 \\\\ 2 & 2 & 0 & -2 \\\\ 4 & 1 & -3 & 0 \\\\ 2 & 10 & 3 & 2 \end{array}\right]
(b) A matriz A dada acima é invertível? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Calcular o determinante da matriz
A=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 0 & 5 \\\\ 2 & 2 & 0 & -2 \\\\ 4 & 1 & -3 & 0 \\\\ 2 & 10 & 3 & 2 \end{bmatrix}
(b) Dizer se a matriz A é invertível e justificar a resposta.
Informações dadas que vamos usar: os elementos de A conforme a matriz acima (repito: peguei todos os coeficientes diretamente da matriz dada).

Passo 2

Como escolher o método: note que a terceira coluna de A tem dois zeros nas primeiras duas entradas ( a_{13}=0 e a_{23}=0). Isso facilita usar a expansão de Laplace ao longo da coluna 3 (expansão por cofatores), porque só teremos que calcular dois cofatores não nulos. Vou explicar o que é essa expansão e porquê funciona.
A expansão de Laplace ao longo da coluna j diz que
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Aqui n=4 e escolhemos j=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula à coluna 3 temos (apenas i=3,4 contribuem porque a_{13}=a_{23}=0):
\det(A)=a_{33}C_{33}+a_{43}C_{43}.
Como a_{33}=-3 e a_{43}=3, e lembrando C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}), temos
C_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=\det(M_{33})
e
C_{43}=(-1)^{4+3}\det(M_{43})=-\det(M_{43}).
Portanto
\det(A)=(-3)\det(M_{33})+3\big(-\det(M_{43})\big)=-3\big(\det(M_{33})+\det(M_{43})\big).

Passo 4

Agora escrevo explicitamente as duas menores 3\times3 que aparecem (retirei a linha 3 e a coluna 3 para M_{33}, e a linha 4 e a coluna 3 para M_{43}, todos dados diretamente da matriz A):
M_{33}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & -2 \\\\ 2 & 10 & 2 \end{bmatrix}, \qquad M_{43}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 5 \\\\ 2 & 2 & -2 \\\\ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
Vou calcular \det(M_{33}) e \det(M_{43}) separadamente.

Passo 5

Cálculo de \det(M_{33}). Vou expandir por cofactores pela primeira linha (ou usar a regra de Sarrus; o procedimento é equivalente). Para a primeira linha de M_{33} temos:
\det(M_{33})=3\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 10 & 2\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 2 & 2\end{bmatrix} +5\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 10\end{bmatrix}.
Calculemos cada determinante 2\times2:
\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 10 & 2\end{bmatrix}=2\cdot2-(-2)\cdot10=4+20=24,
\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 2 & 2\end{bmatrix}=2\cdot2-(-2)\cdot2=4+4=8,
\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\[4pt] 2 & 10\end{bmatrix}=2\cdot10-2\cdot2=20-4=16.
Substituindo:
\det(M_{33})=3\cdot24-3\cdot8+5\cdot16=72-24+80=128.]

Passo 6

Cálculo de \det(M_{43}). De novo expandindo pela primeira linha:
\det(M_{43})=3\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 4 & 0\end{bmatrix} +5\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\[4pt] 4 & 1\end{bmatrix}.
Calculemos os 2\times2:
\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 1 & 0\end{bmatrix}=2\cdot0-(-2)\cdot1=0+2=2,
\det\begin{bmatrix}2 & -2 \\[4pt] 4 & 0\end{bmatrix}=2\cdot0-(-2)\cdot4=0+8=8,
\det\begin{bmatrix}2 & 2 \\[4pt] 4 & 1\end{bmatrix}=2\cdot1-2\cdot4=2-8=-6.
Substituindo:
\det(M_{43})=3\cdot2-3\cdot8+5\cdot(-6)=6-24-30=-48.]

Passo 7

Agora volto à fórmula da Passo 3:
\det(A)=-3\big(\det(M_{33})+\det(M_{43})\big)=-3\big(128+(-48)\big)=-3\cdot80=-240.
Então o determinante da matriz A é -240. (Respira: apesar dos muitos números, as operações são só multiplicar e somar — você consegue!)

Passo 8

Critério de invertibilidade e conclusão: um resultado importante (e útil na prova) é que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0. Como aqui encontramos \det(A)=-240\neq0, concluímos que A é invertível. Parabéns — você acabou de calcular o determinante e verificar a invertibilidade; é exatamente isso que costumam pedir na prova.

Resposta

(a) \det(A)=-240
(b) Sim. Como \det(A)=-240\neq0, a matriz A é invertível.

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