Sabendo que A e B são matrizes 4 \times 4 com \operatorname{det} A=3 e \operatorname{det} B=10, calcule:
\operatorname{det}\left(-A B^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede que calculemos \operatorname{det}\left(-A B^{2}\right).
Dados fornecidos: \operatorname{det}A=3, \operatorname{det}B=10 e A e B são matrizes 4\times4.

Passo 2

Lembra da propriedade multiplicativa do determinante: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis, vale
\operatorname{det}(XY)=\operatorname{det}X\cdot\operatorname{det}Y.
Isso significa que podemos separar o determinante de um produto em produto dos determinantes. Ex.: \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}A\cdot\operatorname{det}B.

Passo 3

Aplicando a propriedade anterior a B^{2}=B\cdot B, obtemos
\operatorname{det}\left(B^{2}\right)=\operatorname{det}(B\cdot B)=\operatorname{det}B\cdot\operatorname{det}B=(\operatorname{det}B)^{2}.
Com \operatorname{det}B=10, portanto \operatorname{det}\left(B^{2}\right)=10^{2}=100.

Passo 4

Agora, sobre multiplicar uma matriz por um escalar: para uma matriz n\times n e escalar c vale
\operatorname{det}(cA)=c^{n}\operatorname{det}A.
Isto vem do fato de que multiplicar uma linha (ou coluna) por c multiplica o determinante por c; como há n linhas, o fator fica c^{n}. No nosso caso n=4 e c=-1, então
\operatorname{det}(-A)=(-1)^{4}\operatorname{det}A=\operatorname{det}A,
pois (-1)^{4}=1.

Passo 5

Agora juntamos tudo. Usando multiplicatividade:
\operatorname{det}\left(-A B^{2}\right)=\operatorname{det}(-A)\cdot\operatorname{det}\left(B^{2}\right).
Pelo passo anterior \operatorname{det}(-A)=\operatorname{det}A e pelo passo 3 \operatorname{det}\left(B^{2}\right)=100. Logo
\operatorname{det}\left(-A B^{2}\right)=\operatorname{det}A\cdot 100=3\cdot 100=300.

Passo 6

Verificação alternativa rápida: escrever -A B^{2}=(-I)A B^{2} e usar \operatorname{det}(-I)=(-1)^{4}=1 dá o mesmo resultado, confirmando que o sinal menos não altera o valor aqui porque a ordem é 4.

Resposta

300

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