(a) Obtenha inversa da matriz A, se possível. Se A não for invertível, justifique por que não.
(b) Resolva para X a equação matricial A X=B. Exiba explicitamente cada entrada da matriz X.
(a) Obter a inversa de A, se existir.
(b) Resolver a equação matricial A X = B, exibindo cada entrada de X.
Informações relevantes dadas: as entradas de A e de B conforme acima. Nada mais foi pedido além de calcular \,A^{-1} (quando possível) e a matriz X que satisfaz A X=B.
Passo 2
Primeiro passo para saber se A tem inversa é verificar se \det(A)\neq 0. Vou calcular \det(A) usando a expansão por cofatores na primeira linha. Lembre que, para uma matriz 3\times3,
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) e M_{ij} é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
Aqui a_{11}=2,\;a_{12}=0,\;a_{13}=-1. Calculo os menores correspondentes:
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível. A fórmula que vamos usar é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (matriz transposta da matriz de cofatores). Como \det(A)=1, teremos simplesmente A^{-1}=\operatorname{adj}(A). Vou então calcular todos os cofatores C_{ij} (já usei alguns na expansão, mas preciso de todos) e depois transpor a matriz de cofatores.
Passo 4
Calculo dos menores e cofatores para todas as posições (i,j):
Para (1,1) já temos
\det(M_{11})=-3,\qquad C_{11}=(-1)^{2}(-3)=-3.
Para (1,2) já temos
\det(M_{12})=-2,\qquad C_{12}=(-1)^{3}(-2)=2.
Para (1,3) já temos
\det(M_{13})=-7,\qquad C_{13}=(-1)^{4}(-7)=-7.
Agora linha 2:
Para (2,1): submatriz eliminado linha 2 coluna 1 é \left[\begin{smallmatrix}0 & -1\\[2pt]3 & 0\end{smallmatrix}\right],
(opcional de verificação) Para garantir que não houve erro aritmético, posso verificar rapidamente que A X=B. Multiplicando A por cada coluna de X obtém-se exatamente as colunas de B; por exemplo: