Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 3 & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\\\ 0 & -1 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
(a) Obtenha inversa da matriz A, se possível. Se A não for invertível, justifique por que não.
(b) Resolva para X a equação matricial A X=B. Exiba explicitamente cada entrada da matriz X.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 5 & 1 \\\\ 2 & 3 & 0 \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0 \\\\ 0 & -1 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
e pede duas coisas:
(a) Obter a inversa de A, se existir.
(b) Resolver a equação matricial A X = B, exibindo cada entrada de X.
Informações relevantes dadas: as entradas de A e de B conforme acima. Nada mais foi pedido além de calcular \,A^{-1} (quando possível) e a matriz X que satisfaz A X=B.

Passo 2

Primeiro passo para saber se A tem inversa é verificar se \det(A)\neq 0. Vou calcular \det(A) usando a expansão por cofatores na primeira linha. Lembre que, para uma matriz 3\times3,
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) e M_{ij} é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
Aqui a_{11}=2,\;a_{12}=0,\;a_{13}=-1. Calculo os menores correspondentes:
\det\big(M_{11}\big)=\det\left[\begin{array}{rr}5 & 1\\[2pt]3 & 0\end{array}\right]=5\cdot0-1\cdot3=-3,
\det\big(M_{12}\big)=\det\left[\begin{array}{rr}1 & 1\\[2pt]2 & 0\end{array}\right]=1\cdot0-1\cdot2=-2,
\det\big(M_{13}\big)=\det\left[\begin{array}{rr}1 & 5\\[2pt]2 & 3\end{array}\right]=1\cdot3-5\cdot2=3-10=-7.
Agora os cofatores:
C_{11}=(-1)^{1+1}(-3)=-3,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}(-2)=2,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}(-7)=-7.
Então
\det(A)=2\cdot(-3)+0\cdot(2)+(-1)\cdot(-7) = -6 + 0 +7 = 1.]

Passo 3

Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível. A fórmula que vamos usar é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (matriz transposta da matriz de cofatores). Como \det(A)=1, teremos simplesmente A^{-1}=\operatorname{adj}(A). Vou então calcular todos os cofatores C_{ij} (já usei alguns na expansão, mas preciso de todos) e depois transpor a matriz de cofatores.

Passo 4

Calculo dos menores e cofatores para todas as posições (i,j):
Para (1,1) já temos
\det(M_{11})=-3,\qquad C_{11}=(-1)^{2}(-3)=-3.
Para (1,2) já temos
\det(M_{12})=-2,\qquad C_{12}=(-1)^{3}(-2)=2.
Para (1,3) já temos
\det(M_{13})=-7,\qquad C_{13}=(-1)^{4}(-7)=-7.
Agora linha 2:
Para (2,1): submatriz eliminado linha 2 coluna 1 é \left[\begin{smallmatrix}0 & -1\\[2pt]3 & 0\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{21})=0\cdot0-(-1)\cdot3=3,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3.
Para (2,2): submatriz \left[\begin{smallmatrix}2 & -1\\[2pt]2 & 0\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{22})=2\cdot0-(-1)\cdot2=2,\qquad C_{22}=(-1)^{4}\cdot2=2.
Para (2,3): submatriz \left[\begin{smallmatrix}2 & 0\\[2pt]2 & 3\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{23})=2\cdot3-0\cdot2=6,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}\cdot6=-6.
Agora linha 3:
Para (3,1): submatriz \left[\begin{smallmatrix}0 & -1\\[2pt]5 & 1\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{31})=0\cdot1-(-1)\cdot5=5,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}\cdot5=5.
Para (3,2): submatriz \left[\begin{smallmatrix}2 & -1\\[2pt]1 & 1\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{32})=2\cdot1-(-1)\cdot1=2+1=3,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}\cdot3=-3.
Para (3,3): submatriz \left[\begin{smallmatrix}2 & 0\\[2pt]1 & 5\end{smallmatrix}\right],
\det(M_{33})=2\cdot5-0\cdot1=10,\qquad C_{33}=(-1)^{6}\cdot10=10.
Assim, a matriz de cofatores C=(C_{ij}) é
C=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 2 & -7\\[4pt] -3 & 2 & -6\\[4pt] 5 & -3 & 10 \end{array}\right].]

Passo 5

A adjunta \operatorname{adj}(A) é a transposta da matriz de cofatores, então
\operatorname{adj}(A)=C^{T}= \left[\begin{array}{rrr} -3 & -3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -3\\[4pt] -7 & -6 & 10 \end{array}\right].
Como \det(A)=1, obtemos
A^{-1}=\operatorname{adj}(A)= \left[\begin{array}{rrr} -3 & -3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -3\\[4pt] -7 & -6 & 10 \end{array}\right].
(Isto é, cada entrada de A^{-1} foi obtida conforme calculado nos passos anteriores.)]

Passo 6

Para resolver A X=B usamos que, sendo A invertível, podemos multiplicar pela esquerda por A^{-1} para obter
X=A^{-1}B.
Verifico as dimensões: A^{-1} é 3\times3 e B é 3\times2, então X será 3\times2, compatível com o pedido.

Passo 7

Agora calculo explicitamente X=A^{-1}B. Vou multiplicar A^{-1} pela matriz B.
A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} -3 & -3 & 5\\[4pt] 2 & 2 & -3\\[4pt] -7 & -6 & 10 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{rr} 2 & 0\\[2pt] 0 & -1\\[2pt] -1 & 1 \end{array}\right].
Calculo coluna a coluna.
Primeira coluna de B é \left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{smallmatrix}\right]. Multiplicando:
\begin{aligned} \text{col}_1(X) &=A^{-1}\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -3\cdot2 + (-3)\cdot0 + 5\cdot(-1)\\[4pt] 2\cdot2 + 2\cdot0 + (-3)\cdot(-1)\\[4pt] -7\cdot2 + (-6)\cdot0 + 10\cdot(-1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -6 + 0 -5\\[4pt] 4 + 0 +3\\[4pt] -14 + 0 -10 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -11\\[4pt] 7\\[4pt] -24 \end{array}\right]. \end{aligned}
Segunda coluna de B é \left[\begin{smallmatrix}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{smallmatrix}\right]. Multiplicando:
\begin{aligned} \text{col}_2(X) &=A^{-1}\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} -3\cdot0 + (-3)\cdot(-1) + 5\cdot1\\[4pt] 2\cdot0 + 2\cdot(-1) + (-3)\cdot1\\[4pt] -7\cdot0 + (-6)\cdot(-1) + 10\cdot1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} 0 +3 +5\\[4pt] 0 -2 -3\\[4pt] 0 +6 +10 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{r} 8\\[4pt] -5\\[4pt] 16 \end{array}\right]. \end{aligned}
Juntando as colunas, obtemos
X=\left[\begin{array}{rr} -11 & 8\\[4pt] 7 & -5\\[4pt] -24 & 16 \end{array}\right].]

Passo 8

(opcional de verificação) Para garantir que não houve erro aritmético, posso verificar rapidamente que A X=B. Multiplicando A por cada coluna de X obtém-se exatamente as colunas de B; por exemplo:
A\left[\begin{array}{r}-11\\[2pt]7\\[2pt]-24\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\right],\qquad A\left[\begin{array}{r}8\\[2pt]-5\\[2pt]16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\right],
confirmando A X=B.]

Resposta

\displaystyle A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}-3 & -3 & 5\\[4pt]2 & 2 & -3\\[4pt]-7 & -6 & 10\end{array}\right]
\displaystyle X=\left[\begin{array}{rr}-11 & 8\\[4pt]7 & -5\\[4pt]-24 & 16\end{array}\right]]

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