Calcule o determinante da matriz P, em que
P é a matriz \mathrm{P}=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & -1 & 1 \\\ \sqrt{2} & 1 & -1 \\\\ 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2}\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 3\times3 com entradas envolvendo raiz de 2. O conteúdo usado será a expansão por cofatores (ou regra de Sarrus) para calcular \det de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Vamos expandir pela primeira linha. Se chamarmos
P = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
então
\det(P) = a\,(e\,i - f\,h)\;-\;b\,(d\,i - f\,g)\;+\;c\,(d\,h - e\,g).

Passo 3

Identificando as entradas de P:
a = \sqrt{2},\; b = -1,\; c = 1,\; d = \sqrt{2},\; e = 1,\; f = -1,\; g = 0,\; h = \sqrt{2},\; i = \sqrt{2}.
Calculamos os menores:
e\,i - f\,h = 1\cdot\sqrt{2} \;-\;(-1)\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2},
d\,i - f\,g = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \;-\;(-1)\cdot 0 = 2,
d\,h - e\,g = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \;-\;1\cdot 0 = 2.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
\det(P) = \sqrt{2}\,(2\sqrt{2}) \;-\;(-1)\,(2)\;+\;1\,(2) = 2\cdot2 \;+\;2 \;+\;2 = 8.

Resposta

O valor do determinante de P é 8.

Exercícios relacionados