Calcule o determinante da matriz . Mostre todo o desenvolvimento da questão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 5. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes maiores usando expansão de cofatores ou simplificações com operações elementares.
Passo 2
Primeiro, observe que a matriz A = 6 & -2 & 0 & 1 & 0 3 & 0 & -1 & 1 & 0 -1 & -5 & 6 & 3 & 2 2 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 3 & -2 & 0 tem zeros na última coluna. Isso é ótimo porque facilita a expansão pelo cofactor nessa coluna, já que muitos termos vão ser zero. A matriz é:
Passo 3
Vamos usar a expansão de cofatores pela quinta coluna, já que ela tem vários zeros, o que simplifica os cálculos. A fórmula para o determinante usando a quinta coluna é:
det(A) = sumi=1^5 (-1)^i+5 cdot ai5 cdot det(Mi5)
onde é o elemento da matriz na linha e coluna 5, e é a matriz resultante de remover a linha e a coluna 5.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da quinta coluna:
a15 = 0, a25 = 0, a35 = 2, a45 = 0, a55 = 0
Portanto, apenas det(A) = (-1)^3+5 cdot 2 cdot det(M35) = (-1)^8 cdot 2 cdot det(M35) = 1 cdot 2 cdot det(M35) = 2 cdot det(M35) é diferente de zero. Isso simplifica nossa expressão para:
Passo 5
Agora, precisamos calcular M35 = 6 & -2 & 0 & 1 3 & 0 & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 3 & -2 . A matriz é obtida removendo a terceira linha e a quinta coluna de :
Passo 6
Para calcular o determinante de , que é uma matriz 4x4, podemos novamente usar expansão de cofatores ou simplificar a matriz usando operações elementares. Vamos optar por transformar a matriz em uma forma triangular superior usando operações que não alterem o determinante.
Passo 7
Primeiro, observamos que a terceira linha tem três zeros, o que é útil. Vamos trocar a terceira linha com a primeira para facilitar:
Lembrando que trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Passo 8
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (2 na posição 2 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 0 & -2 & 0 & 1 0 & 1 & 3 & -2 ).
Para a segunda linha:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
Aplicando essas operações:
Passo 9
Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô é na posição 2 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 3 & -2 com -2. Vamos trocar a segunda e a terceira linhas para trazer um pivô não zero para a segunda posição:
Essa troca multiplica o determinante por -1 novamente.
Passo 10
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (-2) na coluna 2.
Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Lembrando que fizemos duas trocas de linhas, cada uma multiplicando o determinante por -1, então o determinante atual deve ser multiplicado por det(M35) = 2 times (-2) times (-1) times 32 = 2 times (-2) = -4 -4 times (-1) = 4 4 times 32 = 6 , ou seja, permanece o mesmo.