Calcule os seguinte limites.
lim x infty e^3 xx^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de limx infty e^3xx^3. Aqui, estamos lidando com limites de funções que crescem muito rápido — uma exponencial no numerador e uma função polinomial no denominador. Para resolver isso, vamos usar o L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para calcular limites quando ambos os lados (numerador e denominador) estão tendendo para infinito.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto e^3x quanto x^3 tendem a infinito quando x aumenta. Isso coloca nossa situação no caso onde podemos aplicar o L’Hospital. A regra de L’Hospital diz que se temos limx to infty f(x)g(x) e ambos os limites de f(x) e g(x) são infty ou -infty, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos aplicar a primeira derivada:
limx infty e^3xx^3 = limx infty 3e^3x3x^2 = limx infty e^3xx^2
Ainda temos inftyinfty, então aplicamos o L’Hospital de novo.

Passo 4

Aplicando a segunda derivada:
limx infty e^3xx^2 = limx infty 9e^3x6x = limx infty 3e^3x2x
Continuamos com inftyinfty, então aplicamos o L’Hospital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando a terceira derivada:
limx infty 3e^3x2x = limx infty 9e^3x2
Agora, o denominador é uma constante e o numerador ainda tende a infinito.

Resposta

O limite é infinito. limx infty e^3xx^3 = infty.

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