Calcule os seguinte limites.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções que crescem muito rápido — uma exponencial no numerador e uma função polinomial no denominador. Para resolver isso, vamos usar o L’Hospital, que é uma ferramenta poderosa para calcular limites quando ambos os lados (numerador e denominador) estão tendendo para infinito.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto
quanto
tendem a infinito quando
aumenta. Isso coloca nossa situação no caso onde podemos aplicar o L’Hospital. A regra de L’Hospital diz que se temos
e ambos os limites de
e
são
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos aplicar a primeira derivada:
Ainda temos
, então aplicamos o L’Hospital de novo.
Passo 4
Aplicando a segunda derivada:
Continuamos com
, então aplicamos o L’Hospital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando a terceira derivada:
Agora, o denominador é uma constante e o numerador ainda tende a infinito.
Resposta
O limite é infinito.
.