Calcule os seguinte limites.
lim x infty ln xx^b=0,0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyln xx^b com 0. O conteúdo aqui é limites no infinito e uso da regra de l’Hôpital, pois queremos comparar o crescimento de ln x e de uma potência x^b.

Passo 2

Ao deixar xtoinfty, temos ln xtoinfty e x^btoinfty, ou seja, uma forma indeterminada tfracinftyinfty. Pela regra de l’Hôpital, basta derivar numerador e denominador (as funções são diferenciáveis e o denominador não se anula):
Derivando temos
ddx(ln x)=1x, ddx(x^b)=b,x^b-1

Passo 3

A razão das derivadas é
1xb,x^b-1=1b,x^b

Passo 4

Agora avaliamos o limite dessa nova expressão. Como b>0,
limxtoinfty1b,x^b=0

Passo 5

Pela regra de l’Hôpital, o limite original também é zero.

Resposta

0

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