Calcule os seguinte limites.
lim x infty e^3 xx

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de e^3xx quando x tende ao infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites, uma parte da Análise de Funções, onde analisamos o comportamento de uma função conforme a variável se aproxima de um valor específico ou vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais e lineares se comparam quando x cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as funções no numerador e denominador. No numerador, temos e^3x, que é uma função exponencial. No denominador, temos x, que é uma função linear.

Passo 3

Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rapidamente do que funções lineares conforme x tende ao infinito. Isso significa que, conforme x aumenta sem limite, e^3x se torna muito, muito maior que x.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos um limite na forma inftyinfty. A Regra de L’Hôpital nos diz que nesse caso, o limite de f(x)g(x) quando x tende ao infinito pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador: a derivada de e^3x é 3e^3x.
Em seguida, derivamos o denominador: a derivada de x é 1.

Passo 6

Agora, o limite passa a ser:
limx infty 3e^3x1 = 3 cdot limx infty e^3x
Sabemos que e^3x tende ao infinito quando x tende ao infinito.

Passo 7

Portanto,
3 cdot limx infty e^3x = infty

Resposta

O limite é infinito.

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