Calcule os seguinte limites.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Isso está relacionado ao estudo de limites, uma parte da Análise de Funções, onde analisamos o comportamento de uma função conforme a variável se aproxima de um valor específico ou vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais e lineares se comparam quando x cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as funções no numerador e denominador. No numerador, temos
, que é uma função exponencial. No denominador, temos
, que é uma função linear.
Passo 3
Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rapidamente do que funções lineares conforme x tende ao infinito. Isso significa que, conforme x aumenta sem limite,
se torna muito, muito maior que
.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos um limite na forma
. A Regra de L’Hôpital nos diz que nesse caso, o limite de
quando x tende ao infinito pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Primeiro, derivamos o numerador: a derivada de
é
.
Em seguida, derivamos o denominador: a derivada de
é
.
Passo 6
Agora, o limite passa a ser:
Sabemos que
tende ao infinito quando x tende ao infinito.
Passo 7
Portanto,
Resposta
O limite é infinito.