Verifique se a matriz A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] é invertível calculando seu determinante. Caso seja, resolva o sistema A X=\left[\begin{array}{c}5 \\\\ 11\end{array}\right] usando a matriz inversa.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}
e o vetor coluna do lado direito do sistema
b=\begin{bmatrix}5 \\[4pt] 11\end{bmatrix}.
O que é pedido:
  • Calcular o determinante de A para verificar se A é invertível.
  • Caso A seja invertível, resolver o sistema A X = b usando a matriz inversa A^{-1}.]

Passo 2

Fórmula do determinante para matrizes 2\times2. Se
A=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix},
então o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui identificamos a=1, b=2, c=3, d=4. Substituindo:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3.]

Passo 3

Calculemos a conta do determinante passo a passo:
\det(A)=4-6=-2.
Interpretação: como \det(A)=-2\neq0, a matriz A é invertível. (Dica rápida: determinante zero significa colunas linearmente dependentes; determinante não nulo significa colunas linearmente independentes e, portanto, existência da inversa.)

Passo 4

Fórmula da inversa para 2\times2. Para
A=\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}
com \det(A)\neq0, a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{bmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{bmatrix}.
Explicação curta: isto é a matriz adjunta (adjugate) dividida pelo determinante; cada entrada resulta de cofatores da matriz original.]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso: já temos \det(A)=-2. A matriz de cofatores (adjunta transposta) é
\begin{bmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{bmatrix}.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\dfrac{4}{-2} & \dfrac{-2}{-2} \\[8pt] \dfrac{-3}{-2} & \dfrac{1}{-2}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-2 & 1 \\[6pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 6

Resolver A X=b usando X=A^{-1}b. Multiplicando:
X=\begin{bmatrix}-2 & 1 \\[6pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5 \\[4pt] 11\end{bmatrix}.
Calculemos componente a componente.
Primeira componente:
x_1 = -2\cdot5 + 1\cdot11 = -10 + 11 = 1.
Segunda componente:
x_2 = \tfrac{3}{2}\cdot5 + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot11 = \tfrac{15}{2} - \tfrac{11}{2} = \tfrac{4}{2} = 2.
Portanto
X=\begin{bmatrix}1 \\[4pt] 2\end{bmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcule A X:
A X=\begin{bmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\[4pt] 2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\cdot1+2\cdot2 \\[4pt] 3\cdot1+4\cdot2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5 \\[4pt] 11\end{bmatrix}=b,
confirmando que a solução está correta.]

Resposta

\det(A)=-2
X=\begin{bmatrix}1 \\[4pt] 2\end{bmatrix}]

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