Calcule o determinante da matriz A=[cccc4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4];
Usando operações elementares sobre as linhas da matriz.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para
A = 4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 1 & 2 & -1 & 3 2 & 1 & 0 & 4
usando operações elementares sobre linhas. Lembrando:
  1. A troca de duas linhas multiplica o determinante por -1.
  2. Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k.
  3. Adicionar múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.

Passo 2

Para facilitar, trocamos R1 com R2 (fator -1) e depois multiplicamos a nova R1 por -1 (outro fator -1). O produto dos fatores é (-1)cdot(-1)=1, logo o determinante permanece o mesmo. As duas operações juntas transformam
4 & -5 & 3 & 2 -1 & 0 & 3 & 0 cdots ;longrightarrow; 1 & 0 & -3 & 0 4 & -5 & 3 & 2 cdots

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo de a11=1 usando combinações:
R2 & R2 - 4,R1, R3 & R3 - 1,R1, R4 & R4 - 2,R1
Isso gera a matriz em forma bloco
1 & 0 & -3 & 0 0 & -5 & 15 & 2 0 & 2 & 2 & 3 0 & 1 & 6 & 4

Passo 4

Agora a primeira coluna está triangularizada, e como não fizemos escalas que alterem o determinante (só trocas compensadas e adições), temos
det(A) = 1 times det! -5 & 15 & 2 2 & 2 & 3 1 & 6 & 4

Passo 5

Calculamos o determinante do bloco 3times3 por expansão na primeira linha:
det(B) &= (-5),(2cdot4 - 3cdot6) - 15,(2cdot4 - 3cdot1) + 2,(2cdot6 - 2cdot1) &= -5,(8 - 18) -15,(8 - 3) +2,(12 - 2) &= -5,(-10) -15cdot5 +2cdot10 &= 50 -75 +20 = -5
Portanto, det(A) = -5.

Resposta

-5

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