Dado um número real
, considere a matriz
.
Mostre que para todo número
alpha a matriz
Talpha é ortogonal.
Mostre que para todo número
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de rotação em
R^2
e pede para mostrar que ela é ortogonal. O conteúdo aqui é a definição de matriz ortogonal: uma matriz
M é ortogonal se e somente se
onde
M^T é a transposta de
M e
I é a matriz identidade.
Passo 2
Vamos escrever a transposta de
Talpha . Basta trocar linhas por colunas:
Passo 3
Agora calculamos o produto
Talpha^T,Talpha . Multiplicamos blocos
2times 2 :
Passo 4
Efetuando a multiplicação, elemento a
1,1 :
Elemento a
1,2 :
Elemento a
2,1 :
Elemento a
2,2 :
Passo 5
Reunindo esses resultados, obtemos
Como
Talpha^T Talpha=I , concluímos que
Talpha é ortogonal para todo
alpha .
Resposta
A matriz
Talpha é ortogonal porque satisfaz