Dado um número real alpha, considere a matriz Talpha=[cccos alpha & -sin alpha sin alpha & cos alpha].
Mostre que para todo número alpha a matriz Talpha é ortogonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de rotação em R^2
Talpha = cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha ,
e pede para mostrar que ela é ortogonal. O conteúdo aqui é a definição de matriz ortogonal: uma matriz M é ortogonal se e somente se
M^T M = I,
onde M^T é a transposta de M e I é a matriz identidade.

Passo 2

Vamos escrever a transposta de Talpha. Basta trocar linhas por colunas:
Talpha^T = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha

Passo 3

Agora calculamos o produto Talpha^T,Talpha. Multiplicamos blocos 2times 2:
Talpha^T,Talpha = cosalpha & sinalpha -sinalpha & cosalpha cosalpha & -sinalpha sinalpha & cosalpha

Passo 4

Efetuando a multiplicação, elemento a 1,1:
cosalphacdotcosalpha + sinalphacdotsinalpha = cos^2alpha + sin^2alpha = 1
Elemento a 1,2:
cosalphacdot(-sinalpha) + sinalphacdotcosalpha = -cosalpha,sinalpha + sinalpha,cosalpha = 0
Elemento a 2,1:
(-sinalpha)cdotcosalpha + cosalphacdotsinalpha = -sinalpha,cosalpha + cosalpha,sinalpha = 0
Elemento a 2,2:
(-sinalpha)cdot(-sinalpha) + cosalphacdotcosalpha = sin^2alpha + cos^2alpha = 1

Passo 5

Reunindo esses resultados, obtemos
Talpha^T,Talpha = 1 & 0 0 & 1 = I
Como Talpha^T Talpha=I, concluímos que Talpha é ortogonal para todo alpha.

Resposta

A matriz Talpha é ortogonal porque satisfaz
Talpha^T,Talpha=I

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