Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
det(-A);

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
e pede det(-A). O conteúdo aqui é determinante de matriz quadrada e, em particular, a propriedade de homogeneidade do determinante (ou seja, o comportamento de det(cA) quando c é um escalar).

Passo 2

A propriedade de homogeneidade diz que, para uma matriz ntimes n e escalar c,
det(cA) = c^n det(A)
Como A é 4times4 e c=-1, temos
det(-A) = (-1)^4 det(A) = det(A)
Logo, basta calcular det(A).

Passo 3

Para calcular det(A) vamos usar eliminação de Gauss do tipo “ Rito Ri + kRj”, que não altera o determinante. Aplicando
R2to R2+R1, R3to R3 - 6R1, R4to R4 - 5R1,
obtemos
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
Como as operações não mudam o determinante, segue que
det(A) = 1 times det! 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11

Passo 4

Chame de B a matriz 3times3 acima. Calculando seu determinante por expansão na primeira linha:
det(B) =7det9 & -195 & -11 -(-3)det-23 & -19-22 & -11 +7det-23 & 9-22 & 5
Agora cada 2times2:
det9 & -195 & -11 =9cdot(-11)-5cdot(-19)=-99+95=-4,
det-23 & -19-22 & -11 =(-23)(-11)-(-22)(-19)=253-418=-165,
det-23 & 9-22 & 5 =(-23)cdot5 -9cdot(-22)=-115+198=83
Substituindo,
det(B)=7cdot(-4)+3cdot(-165)+7cdot83 =-28-495+581=58

Passo 5

Como det(A)=1cdotdet(B)=58 e det(-A)=det(A), concluímos
det(-A)=58

Resposta

;58

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