Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
det(A^-1);

Passo 1

O que a gente quer é o determinante de A^-1. Pela propriedade de determinantes de inversa, temos
detl(A^-1r)=1det(A)
Logo, basta calcular det(A).

Passo 2

Para achar det(A) vamos usar operações de linha que não alteram o determinante: pivotamos em a11=1 e eliminamos os elementos abaixo na primeira coluna. A matriz original é
A= 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4
Fazendo
R2 R2+R1, R3 R3-6,R1, R4 R4-5,R1,
não mudamos det(A) e chegamos a
1 & 5 & -1 & ;3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11
Dessa forma
det(A)=1cdot det 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11

Passo 3

Chamando
M= 7 & -3 & 7 -23 & 9 & -19 -22 & 5 & -11 ,
calculamos det(M) por expansão na primeira linha:
det(M) =7l(9cdot(-11)-(-19)cdot5r) -(-3)l((-23)cdot(-11)-(-19)cdot(-22)r) +7l((-23)cdot5-9cdot(-22)r)
Agora os cálculos internos:
9cdot(-11)-(-19)cdot5=-99+95=-4,
(-23)cdot(-11)-(-19)cdot(-22)=253-418=-165,
(-23)cdot5-9cdot(-22)=-115+198=83
Logo
det(M)=7cdot(-4)-(-3)cdot(-165)+7cdot83=-28-495+581=58

Passo 4

Concluímos que
det(A)=1cdotdet(M)=58,
e portanto
detl(A^-1r)=1det(A)=158

Resposta

det(A^-1) = 158

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