Calcule o determinante da matriz utilizando o desenvolvimento de Laplace:
\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0 & 4 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}
usando o desenvolvimento de Laplace. O conteúdo envolve cofactores e menores complementares; para simplificar, vamos escolher uma coluna com zeros.

Passo 2

Observamos que a segunda coluna de A tem zeros em a_{1,2} e a_{3,2}. Então aplicamos o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna. Pela fórmula
\det(A)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+2}\,a_{i,2}\,\det\bigl(M_{i,2}\bigr),
apenas i=2 e i=4 contribuem, pois nos outros termos a_{i,2}=0.

Passo 3

Para i=2, temos a_{2,2}=1 e o menor complementar
M_{2,2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando seu determinante por regra de Sarrus:
\det(M_{2,2}) =1\cdot(1\cdot1-0\cdot3)-2\cdot\bigl((-1)\cdot1-0\cdot2\bigr)+1\cdot\bigl((-1)\cdot3-1\cdot2\bigr) =1-2\cdot(-1)+(-5) =1+2-5=-2.

Passo 4

Para i=4, temos a_{4,2}=1 e
M_{4,2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 3 & 0 & 4\\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det(M_{4,2}) =1\cdot(0\cdot0-4\cdot1)-2\cdot\bigl(3\cdot0-4\cdot(-1)\bigr)+1\cdot\bigl(3\cdot1-0\cdot(-1)\bigr) =-4-2\cdot4+3 =-9.

Passo 5

Somando as contribuições, lembrando que (-1)^{2+2}=(-1)^{4}=1 e (-1)^{4+2}=(-1)^{6}=1:
\det(A)=1\cdot(-2)+1\cdot(-9)=-11.

Resposta

-11

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