Calcule o determinante das seguintes matrizes e indique as que são invertíveis:
\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} e, em seguida, verificar se ela é invertível. O conteúdo aqui é determinante de matriz \(3\times3\) e a condição de invertibilidade que diz que uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Para matrizes 3\times3 podemos usar a regra de Sarrus, que diz:
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 3

Aplicando essa fórmula em
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
temos
\det(A) =2\cdot3\cdot1 + (-1)\cdot4\cdot0 + 0\cdot1\cdot1 -\bigl(0\cdot3\cdot0 + 2\cdot4\cdot1 + (-1)\cdot1\cdot1\bigr).

Passo 4

Calculando cada termo:
2\cdot3\cdot1=6,\quad (-1)\cdot4\cdot0=0,\quad 0\cdot1\cdot1=0,
0\cdot3\cdot0=0,\quad 2\cdot4\cdot1=8,\quad (-1)\cdot1\cdot1=-1.
Logo
\det(A)=6+0+0-(0+8-1)=6-7=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, concluímos que A é invertível.

Resposta

\det(A)=-1, portanto a matriz é invertível.

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