Defina espaço vetorial. Prove que o conjunto das matrizes 2 \times 2 com a soma e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um espaço vetorial e em seguida mostrar que o conjunto M_{2}(\mathbb{R}) de todas as matrizes 2\times2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear, e vamos precisar usar a definição de espaço vetorial (lista de axiomas) e verificar cada uma delas para matrizes 2\times2.

Passo 2

Um espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R} é um conjunto V equipado com duas operações:
  1. Soma interna +\colon V\times V\to V.
  2. Multiplicação por escalar \cdot\colon \mathbb{R}\times V\to V.
    Essas operações devem satisfazer os seguintes axiomas, para todo u,v,w\in V e a,b\in\mathbb{R}:
  3. (Aditiva) u+v\in V (fechamento).
  4. u+v = v+u (comutatividade).
  5. (u+v)+w = u+(v+w) (associatividade).
  6. Existe 0\in V tal que u+0 = u (elemento neutro).
  7. Para cada u existe -u\in V com u+(-u)=0 (inverso aditivo).
  8. (Escalar) a\cdot u\in V (fechamento).
  9. (ab)\cdot u = a\cdot\bigl(b\cdot u\bigr) (associatividade escalar).
  10. 1\cdot u = u (elemento neutro escalar).
  11. a\cdot(u+v) = a\cdot u + a\cdot v (distributividade escalar sobre soma vetorial).
  12. (a+b)\cdot u = a\cdot u + b\cdot u (distributividade escalar sobre soma escalar).

Passo 3

Definimos
V = M_{2}(\mathbb{R}) = \bigl\{\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}:a,b,c,d\in\mathbb{R}\bigr\},
com soma e produto por escalar dadas entrada a entrada:
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a'&b'\c'&d'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+a'&b+b'\c+c'&d+d'\end{pmatrix}, \qquad \lambda\cdot \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda a&\lambda b\\lambda c&\lambda d\end{pmatrix}.
Fechamento: a soma e o produto escalar de matrizes 2\times2 continuam sendo matrizes 2\times2, logo (1) e (6) valem.

Passo 4

Propriedades da adição em M_{2}(\mathbb{R}):
  • Comutatividade:
(A+B)_{ij} = A_{ij}+B_{ij} = B_{ij}+A_{ij} = (B+A)_{ij} \quad\Longrightarrow\quad A+B = B+A.
  • Associatividade:
\bigl((A+B)+C\bigr)_{ij} = (A+B)_{ij}+C_{ij} = A_{ij}+B_{ij}+C_{ij} = A_{ij}+(B_{ij}+C_{ij}) = \bigl(A+(B+C)\bigr)_{ij}.
  • Neutro aditivo:
0 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \qquad A+0 = \begin{pmatrix}a+0&b+0\c+0&d+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=A.
  • Inverso aditivo:
-A = \begin{pmatrix}-a&-b\\\ -c&-d\end{pmatrix}, \qquad A+(-A) = \begin{pmatrix}a-a&b-b\c-c&d-d\end{pmatrix}=0.

Passo 5

Propriedades da multiplicação por escalar em M_{2}(\mathbb{R}):
  • Associatividade escalar:
(ab)\cdot A = \begin{pmatrix}(ab)a&(ab)b\\(ab)c&(ab)d\end{pmatrix} = a\cdot\bigl(b\cdot A\bigr).
  • Neutro escalar:
1\cdot A = \begin{pmatrix}1\cdot a&1\cdot b\\\ 1\cdot c&1\cdot d\end{pmatrix} = A.
  • Distributividade sobre soma vetorial:
a\cdot(A+B) = \begin{pmatrix}a(a+a')&a(b+b')\a(c+c')&a(d+d')\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}aa'&ab'\ac'&ad'\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}aa&ab\ac&ad\end{pmatrix} = a\cdot A + a\cdot B.
  • Distributividade sobre soma escalar:
(a+b)\cdot A = \begin{pmatrix}(a+b)a&(a+b)b\\(a+b)c&(a+b)d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}aa&ab\ac&ad\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}ba&bb\bc&bd\end{pmatrix} = a\cdot A + b\cdot A.)

Resposta

O conjunto M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, logo é de fato um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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