Defina espaço vetorial. Prove que o conjunto das matrizes
com a soma e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que é um espaço vetorial e em seguida mostrar que o conjunto
de todas as matrizes
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial. O conteúdo é Álgebra Linear, e vamos precisar usar a definição de espaço vetorial (lista de axiomas) e verificar cada uma delas para matrizes
.
Passo 2
Um espaço vetorial sobre o corpo
é um conjunto
equipado com duas operações:
- Soma interna
. - Multiplicação por escalar
.
Essas operações devem satisfazer os seguintes axiomas, para todoe : - (Aditiva)
(fechamento). -
(comutatividade). -
(associatividade). - Existe
tal que (elemento neutro). - Para cada
existe com (inverso aditivo). - (Escalar)
(fechamento). -
(associatividade escalar). -
(elemento neutro escalar). -
(distributividade escalar sobre soma vetorial). -
(distributividade escalar sobre soma escalar).
Passo 3
Definimos
com soma e produto por escalar dadas entrada a entrada:
Fechamento: a soma e o produto escalar de matrizes
continuam sendo matrizes
, logo (1) e (6) valem.
Passo 4
Propriedades da adição em
:
- Comutatividade:
- Associatividade:
- Neutro aditivo:
- Inverso aditivo:
Passo 5
Propriedades da multiplicação por escalar em
:
- Associatividade escalar:
- Neutro escalar:
- Distributividade sobre soma vetorial:
- Distributividade sobre soma escalar:
)
Resposta
O conjunto
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, logo é de fato um espaço vetorial sobre
.