Considere o sistema de equações:
x+z=1
y+w=1
x+2 z+w=-1
x-y+z=1. Determine o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O problema nos dá um sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,w\): \[\begin{cases} x + z = 1,\\\ y + w = 1,\\\ x + 2z + w = -1,\\\ x - y + z = 1. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear por substituição: vamos usar as duas primeiras equações para expressar x\] e \(y em função de z e w, depois substituir nas duas últimas para fechar em z e w.

Passo 2

Das equações
x + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 - z,
y + w = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 - w.

Passo 3

Substituindo x=1-z e y=1-w em
x + 2z + w = -1 \quad\text{e}\quad x - y + z = 1,
temos:
(1 - z) + 2z + w = -1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + z + w = -1,
(1 - z) - (1 - w) + z = 1 \quad\Longrightarrow\quad w = 1.

Passo 4

Da primeira dessas duas novas equações,
1 + z + w = -1
e já sabendo w=1, obtemos
1 + z + 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad z = -3.

Passo 5

Agora voltamos para as expressões de x e y:
x = 1 - z = 1 - (-3) = 4,
y = 1 - w = 1 - 1 = 0.

Resposta

O sistema admite solução única:
(x,y,z,w) = (4,\,0,\,-3,\,1).

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